Metodi spline per la valutazione numerica di integrali curvilinei e applicazioni

In questa tesi si studia il problema dell'approssimazione numerica di integrali curvilinei. La valutazione numerica di tali integrali è di grande interesse perché molti problemi con valori al contorno piani di fisica matematica possono essere riformulati come equazioni integrali al contorno. Sia r(t) , a ≤ t ≤ b una parametrizzazione regolare della curva in R2 con |r'(t)|≠0 . Il problema che si vuole affrontare qui è la valutazione dell'integrale (1) ∫f(r(t))|r'(t)|dt con f funzione regolare data, definita su γ. Spesso si assume che la parametrizzazione r(t) sia differenziabile e assegnata esplicitamente. L'integrale (1) può essere quindi calcolato analiticamente valutando r'(t) e poi discretizzato mediante una formula di quadratura. Tuttavia, in certi problemi la parametrizzazione r(t) di γ non è nota esplicitamente o è difficile da ottenere. In questo caso si modificherà l'integrale approssimando r(t) e quindi la curva γ. In letteratura, il suindicato problema è stato affrontato ad esempio approssimando r(t) in (1) con una curva polinomiale a tratti solo continua. e successivamente applicando formule di quadratura di Newton-Cotes composte. Qui si propongono metodi di valutazione di (1) basati sulla quasi-interpolazione spline di r(t) e sulla successiva applicazione di formule di quadratura gaussiane composte e formule di quadratura spline. Nel primo capitolo si riportano alcuni risultati noti in letteratura, relativi agli integrali curvilinei, approssimati utilizzando l'interpolazione a tratti C0 e formule di quadratura composta di Newton-Cotes. Nel secondo capitolo si richiamano le definizioni e proprietà degli operatori spline quasi-interpolanti univariati Qd di grado d = 2; 3; 4 e le formule di quadratura basate su di essi, con le relative proprietà. Nel terzo capitolo sono proposti nuovi metodi per il calcolo dell'integrale curvilineo (1), nei casi in cui la parametrizzazione sia approssimata con una spline quasi-interpolante Qd, considerando una partizione uniforme dell'intervallo [a; b]. L'integrale (1) è poi valutato sia mediante formule di quadratura composte di Gauss-Legendre a m nodi sia mediante formule basate sulla quasi-interpolazione spline. Inoltre sono proposti test numerici e applicazioni dei metodi presentati. Infine sono riportate le procedure di calcolo. L'appendice A contiene i codici Matlab delle procedure analizzate nel capitolo 3.