Teorema di Hasse - Minkowski e principi local to global

The main topic of the dissertation is the building of the theory needed to prove the Hasse-Minkowski Theorem on representability of rational numbers by quadratic forms. This Theorem generalizes classic results about numbers that can be written as sums of squares. The key steps of the proof are the analysis of fields obtained by completing Q with respect to non-archimedean norms and the theory of the Hilbert symbol, that reformulates and generalizes the classic Quadratic Reciprocity Law in a local-global context. Then we explain how to use Hasse-Minkowski Theorem to give a complete classification of quaternion algebras over Q. Lastly, we briefly review some of the recent literature on how to extend the Theorem to function fields.

Argomento principale della tesi è la fondazione della teoria necessaria alla dimostrazione del teorema di Hasse-Minkowski sulla rappresentabilità di numeri razionali mediante forme quadratiche che generalizza risultati classici sui numeri scrivibili come somme di quadrati. Tra questo materiale fondazionale è l'analisi della struttura moltiplicativa dei campi ottenuti completando Q rispetto a norme non archimedee e la teoria del Simbolo di Hilbert, che riformula e generalizza in ambito locale-globale la classica Legge di Reciprocità Quadratica di Gauss. Viene poi spiegato come dal teorema di Hasse-Minkowski si ottiene la classificazione delle algebre di quaternioni su Q. Infine si discute brevemente sulla scorta della letteratura recente lo stato dell'arte delle generalizzazioni del teorema di Hasse-Minkowski a campi di funzioni.