An introduction to Holonomy Groups

The aim of thesis is to introduce the holonomy group of a connection on a smooth manifold and try to uncover some of the information this group encodes. In order to do so, the first chapter introduces all the necessary objects and concepts from differential geometry on which the notion of holonomy group is based on: the structure of manifold and its tangent spaces, followed by vector bundles, vector fields and then tensors. This chapter builds up to the definition of the concept of connection on a vector bundle: it is the tool that allows to connect vectors that lie in different fibres of the same vector bundle. Connecting the fibres of the vector bundle is necessary because each fibre is a different vector space. The core of this thesis focuses on the introduction of parallel transport on a manifold: it is, roughly speaking, the local expression of a connection, allowing to move the local geometry of a manifold along a curve. This concept is fundamental since the definition of holonomy group of a connection is heavily dependent on parallel transport. Throughout the introduction of new concepts, there is a special focus on a specific kind of manifold: the Riemannian manifold. This is because there are especially interesting results regarding holonomy groups of Riemannian manifolds: in fact, in the concluding sections of the thesis two important results concerning Riemannian holonomy groups are presented: the so-called holonomy principle and the celebrated Berger's Classification Theorem.

L'obiettivo di questa tesi è introdurre il gruppo di olonomia di una connessione su una varietà liscia e rendere esplicite alcune delle informazioni che questo gruppo codifica. A tal fine, il primo capitolo introduce tutti gli oggetti e i concetti di geometria differenziale necessari per definire il gruppo di olonomia: la struttura di varietà e i suoi spazi tangenti, seguiti da fibrati vettoriali, campi vettoriali e tensori. Questo capitolo culmina nella definizione del concetto di connessione su un fibrato vettoriale: è lo strumento che permette di connettere vettori che si trovano in fibre diverse dello stesso fibrato vettoriale. Connettere tali fibre è necessario perché ogni fibra è uno spazio vettoriale diverso. Il nucleo centrale di questa tesi è l'introduzione del trasporto parallelo su una varietà: è, a grandi linee, l'espressione locale di una connessione, che consente di spostare la geometria locale di una varietà lungo una curva. Questo concetto è fondamentale poiché la definizione del gruppo di olonomia di una connessione dipende fortemente dal trasporto parallelo. Parallelamente all'introduzione di nuovi concetti, c'è un focus particolare su un tipo specifico di varietà: le varietà Riemanniane. Questo perché ci sono risultati particolarmente interessanti riguardo ai gruppi di olonomia delle varietà Riemanniane: infatti, nelle sezioni conclusive della tesi vengono presentati due risultati importanti riguardanti i gruppi di olonomia Riemanniani: il cosiddetto principio di olonomia e il celebre Teorema di Classificazione di Berger.