Analisi e sviluppo di precondizionatori per matrici di interpolazione RBF

This thesis dealing with the scattered data RBF (Radial Basis Functions) interpolation problem. RBF allow to have highly accurate and flexible interpolating functions in multivariate interpolation, but their construction involves the solution of a linear dense and ill-conditioned system. For this reason, to solve the linear system is better to use iterative methods. In this paper we use the preconditioned conjugate gradient method (PCG) for solving linear system associated to the interpolation problem. In particular, using gridded data to obtain Toeplitz interpolation matrices, we study symbols (or generating functions) associated to Toeplitz matrices in correspondence of various RBF that we use: Gaussian, linear, MQ, IMQ, TPS. We develop some circulant preconditioners, that have proven to be good preconditioners in the literature, in order to improve Toeplitz matrices ill-conditioning and to have a fast convergence of PCG method when it is applied to the interpolation system. We provide some numerical examples in one-dimensional and two-dimensional cases.

In questa tesi trattiamo il problema di interpolazione RBF (Radial Basis Functions) su dati sparsi. Le RBF permettono di avere delle funzioni interpolanti altamente accurate e flessibili nel caso dell'interpolazione multivariata, ma la loro costruzione richiede la risoluzione di un sistema lineare denso e mal condizionato. Per questo motivo, per risolvere il sistema lineare si preferisce ricorrere a metodi iterativi. In questo lavoro viene utilizzato il metodo del gradiente coniugato precondizionato (PCG) per risolvere il sistema lineare associato al problema di interpolazione. In particolare, si utilizzano dei dati griglia per ottenere delle matrici di interpolazione di tipo Toeplitz e vengono studiati i simboli (o funzioni generatrici) associati alle matrici di Toeplitz in corrispondenza delle varie RBF utilizzate: Gaussiana, lineare, MQ, IMQ, TPS. Si sviluppano alcuni precondizionatori circolanti, per i quali è già stato provato in letteratura che sono buoni precondizionatori, in modo da migliorare il mal condizionamento delle matrici di Toeplitz ed avere una convergenza veloce del metodo PCG applicato al sistema di interpolazione. Vengono presentati alcuni esempi numerici sia nel caso unidimensionale sia nel caso bidimensionale.