Equazioni di Campo dalle Leggi di Conservazione nelle Teorie Relativistiche

In this thesis we are going to discuss how field equations can be derived from the conservation laws in natural and non-naturals field theories. This provides a setting to understand how black hole entropy, which is related to conserved quantities, can be used to derive field equations of some particular theories. After introducing the mathematical framework, mainly relying on fiber bundles, to deal with field theories [Chapter 1], we will define the conditions by which the fields equations of one theory can be derived from the variation of Noether current [Chapter 2]. The result deeply relies on the Lie derivative of a section along infinitesimal generators of Lagrangian symmetries. We will call those special theories "integrable Theories¿. In Chapter 3 we will show some examples of integrable and non-integrable field theories. We will show that vacuum general relativity is natural integrable theory, but not all natural theories are integrable: we will produce an example of a natural non-integrable theory (double general relativity). Electromagnetism is an example of a non-natural integrable theory, while Klein-Gordon scalar field provides examples of non-natural, non-integrable field theories. In the conclusive part of the treatise we will explain in some details how black hole entropy is related to conserved quantities and how field equations can be deduced from the entropy.

In questa tesi si discute come sia possibile ricavare le equazioni di campo a partire dalle leggi di conservazione in una teoria di campo naturale o non naturale. Questo fornisce le basi per capire come l'entropia dei buchi neri, che è collegata alle quantità conservate, possa essere utilizzata per ottenere le equazioni di campo di una particolare teoria. Dopo aver introdotto gli oggetti matematici necessari per trattare con le teorie di campo, in particolare i fibrati [Capitolo 1], si definiscono le condizioni grazie alle quali è possibile ottenere le equazioni di campo di una data teoria a partire dalla conservazione della corrente di Noether [Capitolo 2]. Il risultato coinvolge profondamente la derivata di Lie di una sezione calcolata lungo i generatori infinitesimi di simmetrie lagrangiane. Queste particolari teorie saranno definite: ¿teorie integrabili¿. Nel Capitolo 3 vengono mostrati alcuni esempi di teorie integrabili e non integrabili: si mostra che la relatività generale nel vuoto è un esempio di teoria di campo naturale e integrabile, e si costruisce un esempio di teoria naturale non integrabile (relatività generale doppia). L'elettromagnetismo è invece un esempio di teoria non naturale non integrabile, mentre con i campi scalari di Klein-Gordon si costruiscono esempi di teorie non naturali non integrabili. Nella conclusione si spiega come l'entropia dei buchi neri è legata alle quantità conservate e come può essere usata per dedurre le equazioni di campo.