Funzioni di stima per processi stocastici osservati a tempo discreto

The object of study of this dissertation is the asymptotic theory of estimators obtained from estimating functions; specifically, we give conditions on the estimating function under which consistent and asymptotically normal estimators are guaranteed. First of all we analyze the general case of an estimating function obtained from discretely observations of a generic stochastic process. Then, we consider ergodic Markov processes, so we can give easier conditions about the corresponding estimating function, Secondly we build two kind of martingale estimating function for discreetly observed diffusion processes; the first of these it is obtained from an approximation of the likelihood function, the second it is based on eigenfunctions of the generator of the process. Even for these functions we give conditions under which we can obtain consistent and asymptotically normal estimators. Finally, the whole theory studied is applied to some examples.

Oggetto di studio di questa tesi è la teoria asintotica degli stimatori ottenuti da funzioni di stima; nello specifico, studiamo le condizioni sulla funzione di stima sotto le quali ci assicuriamo la consistenza e la normalità asintotica del relativo stimatore. In primo luogo analizziamo il caso generale di una funzione di stima ottenuta tramite osservazioni a tempo discreto di un processo stocastico sul quale non imponiamo nessuna restrizione. In seguito, aggiungendo le ipotesi di markovianità ed ergodicità per il processo, possiamo fornire condizioni meno restrittive. In secondo luogo, partendo da processi di diffusione osservati a tempo discreto, costruiamo delle funzioni di stima che risultano essere delle martingale rispetto alla reale misura di probailità: in particolare, la prima funzione di stima che proponiamo la otteniamo partendo da un'approssimazione della funzione di verosimiglianza, la seconda si basa sulle autofunzioni del generatore infinitesimale del processo. Anche per queste funzioni vengono enunciate delle condizioni sotto le quali gli stimatori che si ottengono risultano essere consistenti ed asintoticamente normali. Tutta la teoria studiata è infine applicata ad alcuni processi per i quali vengono dedotti gli stimatori corrispondenti.