Principi di Indeterminazione e Teorema di Balian-Low

Esistono molte varianti e tipi di principi di indeterminazione e l'obiettivo di questa tesi è dimostrarne alcuni che vanno dalle formulazioni più classiche al teorema di Balian-Low, uno dei risultati fondamentali in analisi dei segnali. Dopo aver introdotto le concentrazioni di una funzione f appartenente ad L_2 (R) e della sua trasformata (f)^ intorno a dei punti dell'asse reale insieme agli operatori posizione e momento, si dimostrano alcune proprietà ad essi associate per poi arrivare a dimostrare il principio di indeterminazione classico. Successivamente si prova l'equivalenza tra quest'ultimo e la sua versione additiva ed in?fine vengono presentate due dimostrazioni alternative dei risultati ottenuti in precedenza: nella prima si prova la forma additiva mediante l'introduzione del commutatore di due operatori, mentre la seconda è una versione più generale del principio di indeterminazione classico che coinvolge due operatori autoaggiunti qualsiasi. Nel capitolo successivo si dimostra il teorema di Balian-Low nella sua versione classica e in quella relativa ai cosiddetti spazi di amalgame. Esso può essere considerato una delle molte formulazioni del principio di indeterminazione in quanto esprime il fatto che la concentrazione tempo-frequenza e la non ridondanza sono proprietà incompatibili per i sistemi di Gabor. Quindi si introduce la teoria dei frames per poi enunciare alcune caratteristiche fondamentali dei frames di Gabor. Viene naturale lavorare su un sottospazio dello spazio delle funzioni differenziabili un numero infinito di volte, detto spazio di Wiener, di cui sono enunciate alcune proprietà. Inoltre, al ?fine di avere una trattazione più simmetrica dei sistemi i Gabor, si introduce la trasformata di Zak, dopodiché si dimostrano le due versioni del teorema di Balian-Low. Quella classica è formulata in dimensione d = 1 e a?fferma che se un determinato sistema di Gabor è anche una base ortonormale, allora la funzione ?finestra da cui è generato non può godere di una buona localizzazione tempo-frequenza. La versione negli spazi di amalgame, invece, conduce allo stesso tipo di risultato, ma riferendosi a frames in L_2(R^d). La non buona localizzazione è espressa dalla non appartenenza della funzione ?finestra e della sua trasformata di Fourier al sottospazio delle funzioni continue dello spazio di Wiener. Nel capitolo ?finale si applica la versione classica del teorema di Balian- Low alla classe di Cohen. ? Il risultato originale della tesi è contenuto nel teorema 4.1.1 e consiste nell'osservazione secondo cui se una funzione ?finestra g in L_2(R) soddisfa opportune condizioni di limitatezza espresse in termini di rappresentazioni della classe di Cohen, allora il sistema di Gabor avente g come funzione ?finestra non può essere una base per L_2(R). Vengono in?fine illustrati due esempi di distribuzioni appartenenti alla classe di Cohen che soddisfano le ipotesi del teorema: la rappresentazione di Wigner dipendente da un parametro ?ed una sua variante integrale.