Frames di Gabor: caratterizzazione e problema della scelta della funzione "finestra"

Dopo aver richiamato la teoria generale riguardante gli spazi vettoriali normati, e in particolare gli spazi di Hilbert, introdurremo le nozioni di successione di Bessel e quella di base di Riesz che verranno generalizzate in seguito con il concetto di frame. Entreremo poi nella teoria dei segnali con un richiamo alla trasformata di Fourier e alle serie di Fourier. Successivamente, con la presentazione della short-time Fourier transform sia continua che discreta, forniremo gli strumenti matematici necessari all'analisi dei segnali. La teoria dei frames verrà introdotta nel Capitolo 4 nell'ambito generale dei spazi di Hilbert, per poi restringerci, nei capitoli successivi, a considerare lo spazio L^2 delle funzioni a quadrato integrabile. In quest'ultimo spazio, considereremo i frames invarianti per traslazioni che costituiscono il quadro generale dei frames di Gabor, e forniremo una delle loro caratterizzazioni più importanti. Presenteremo infine più specificamente i frames di Gabor, in particolare dimostreremo una delle loro caratterizzazioni basata su quella dei sistemi invarianti per traslazioni, così come delle condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema di Gabor sia un frame. Concluderemo con un esempio di funzione finestra e la dimostrazione che esso fornisce in effetti un frame di Gabor.