Aritmetica nelle Algebre di Quaternioni

The aim of the project is to describe various aspects of quaternion algebras. In order to do that, we initially introduce the p-adic norm and define quaternion algebras through the involution's theory. Quaternion algebras are either isomorphic to the ring of matrix or are a division algebras. As they are simple, central, finite-dimensional algebras, we define their classes in Brauer Group. We introduce elements of the theory of orders. We demonstrate the existence of maximal orders into quaternion algebras and that into the matrix ring over number field, with class number 1, only one conjugacy class of maximal orders exists. We prove, over a local field whit characteristic zero, up isomorphism, two algebras exist: one is a division algebra while the other splits. This allows to characterize quaternion algebras over the field of rational numbers. They are determined by the set of ramified places. In conclusion we mention properties of order into quaternion algebras over rational numbers. In particular if quaternion algebra is definite, then, in the same way as we demonstrate regarding the group of classes of field number, the right class number of an order is finite. If algebra is indefinite, instead, only one class exists and from that we can deduce that all maximal orders are conjugate, as in the case of maximal orders into matrix ring.

L'elaborato si propone l'obiettivo di descrivere diversi aspetti delle algebre di quaternioni generalizzate. A questo scopo inizialmente vengono introdotte le norme p-adiche, e definite le algebre di quaternioni tramite la teoria delle involuzioni. Le algebre di quaternioni vengono classificate o come algebre di divisione oppure come isomorfe all'anello delle matrici a coefficienti sul campo base studiandone lo spezzamento. Essendo algebre semplici centrali e finito dimensionali si caratterizzano le loro classi nel gruppo di Brauer. Vengono introdotti degli elementi della teoria degli ordini, per dimostrare l'esistenza di ordini massimali nelle algebre di quaternioni e che nell'anello delle matrici definito sopra ad un campo di numeri, con numero di classe 1, esiste un'unica classe di coniugio di ordini massimali. Si dimostra su un campo locale di caratteristica zero, a meno di isomorfismo, esistono due algebre: una è un'algebra di divisione mentre l'altra spezza. Questo permette di caratterizzare le algebre di quaternioni sul campo dei numeri razionali. Esse sono univocamente determinate dai posti su cui l'algebra ramifica. In conclusione vengono menzionate delle proprietà degli ordini nelle algebre di quaternioni sui numeri razionali. In particolare se un'algebra di quaternioni è definita allora in modo analogo a quanto si dimostra riguardo al gruppo delle classi di un campo di numeri, l'insieme delle classi destre di un ordine ha cardinalità finita. Se l'algebra è indefinita, invece, esiste un'unica classe, da cui si deduce che tutti gli ordini massimali sono coniugati, come nel caso degli ordini massimali nell'anello delle matrici.