Dale superfici localmente euclidee alla geometria iperbolica

Osservando che nella geometria sul cilindro la distanza tra due punti è uguale a quella tra i corrispondenti punti del piano euclideo solo in certi intorni, si cercano le altre superfici su cui si abbiano geometrie localmente euclidee. Si definisce geometria un insieme di punti legati da una distanza che soddisfi alcune condizioni. Una definizione astratta del cilindro permette di rappresentarlo come spazio quoziente del piano con una opportuna relazione di equivalenza. Studiando tale relazione e i requisiti di cui necessita, si arriva a definire i gruppi uniformemente discontinui che permettono di trovare le cinque geometrie localmente euclidee: il piano, il cilindro, il nastro di Mobius, il toro e la bottiglia di Klein. Si studiano poi le similitudini tra geometrie di uno stesso tipo; in particolare ci si sofferma sul caso del toro rappresentabile con un reticolo sul piano. Si osserva inoltre che a ogni toro (a meno di similitudini) è associato un numero complesso appartenente al semipiano superiore. Studiando il caso in cui due di essi generano lo stesso reticolo, ovvero lo stesso toro, ci si accorge che si sta ripetendo il cammino percorso precedentemente cercando punti equivalenti sul piano euclideo. Ci si chiede quindi se sia possibile costruire una nuova geometria i cui punti siano quelli del semipiano superiore complesso e in cui la distanza resti invariata sotto l'azione di isometrie, ovvero trasformazioni che mandano ogni punto in un altro che genera lo stesso reticolo. La risposta è affermativa: la nuova geometria è detta iperbolica, le sue rette, ovvero le curve costituite dai punti fissi di una riflessione, vengono chiamate geodesiche e i punti su cui è definita sono quelli del semipiano superiore complesso. Infine, applicando ad essa il procedimento iniziale, si cercano altre geometrie localmente iperboliche e si osserva che esse sono molte più delle cinque localmente euclidee. Le superfici cercate possono essere definite come spazio quoziente del piano iperbolico H rispetto all'azione di certi gruppi detti fuchsiani, ovvero sottogruppi del gruppo delle isometrie di H che agiscono in modo propriamente discontinuo sul piano iperbolico. La trattazione è basata principalmente sulle opere "Geometries and Groups" di V. Nikulin e V. Shafarevich, e "Fuchsian groups" di Svetlana Katok, da cui sono tratte in particolare le dimostrazioni più dettagliate dei teoremi.