Processi di nascita e morte in tempo continuo e modelli con urne di Polya

Urn models are mathematical devices commonly used in probability and statistics to represent systems composed by objects of different types. Pòlya urns are among the most celebrated. The models of this class comprise an urn of colored balls together with a certain sampling scheme of the following form: at each step, a ball is randomly extracted from the urn, it is then returned and, depending on its color, other additional balls of various colors are replaced. The object of study of this thesis is a class of Pòlya-like urn models with applications to the analysis of the dynamics of a non-isolated population of individuals that randomly evolves over time. We imagine the members of the population as able to reproduce themselves autonomously and having a finite lifetime. In this framework, the population dynamics results to be driven by a sequence of events of three different typologies: the births, deaths and immigrations. Our main goal is to investigate the structured population resulting from the division of the individuals in families. We shall regard each immigrant as the founder of a new family; moreover, when a birth event occurs, we assume that some of the offspring can either join its parent family or, with a certain probability, start a new one. The Pòlya urn models, provide an unified framework to study the resulting structured dynamics. However, as pointed out by P. De Blasi, M. Ruggiero and S. Walker (2016) this class of models is characterized by the unrealistic feature given by the fact that the sample size necessarily increases by one unit at each transition. In this thesis, we aim at generalizing two different Pòlya urn models: the one introduced by Blackwell and MacQueen (1973) and its two-parameter generalization defined by Pitman (1995). Our strategy consist in introducing uniform death events alongside the usual sampling step, thus obtaining continuous-time birth-and-death Pòlya urns. These are defined directly in terms of the induced partition-valued processes, encoded into a continuous-time random walk on the infinite-dimensional integer lattice, with state-dependent transition rates. The continuous-time birth-and-death Pòlya urns s are characterized by an arrival rate b in [0,1] which governs the sampling of new individuals from the underlying scheme, and by the corresponding removal rate 1-b. We study the long-run behavior of the processes, posing a particular attention to detecting the conditions under which the processes are guaranteed to converge to a stationary configuration. The asymptotic regime of the one-parameter model is shown to exhibit a phase transition in the correspondence of the value b=1/2, passing from stationary to non-stationary dynamics. More precisely, values of in [1/2,1] generate processes that, in the limit, converge in distribution to random partitions with almost surely infinitely many families, analogous to those induced by classical generalized Pòlya sequence, as derived R. Arratia, Barbour and Tavaré (1992). On the other hand, values of $b\in(0,1/2)$ are shown to yield stationary processes. The invariant distribution results to be of the same form as the limiting distribution for the non-stationary and can be expressed as an infinite product of Poisson distributions. We then consider the two-parameter process. We show that with values of b in (0,1/2) the model is reversible with respect to a stationary distribution with an analogous form of that of the one-parameter model.

Le urne di Pòlya sono fra I modelli di urna più celebrati. Tali modelli comprendono un urna con palline colorate ed uno schema di estrazione con rinforzo. L'oggetto di studio di questa tesi è una classe di modelli con urne di Pòlya per la descrizione dell'evoluzione di una popolazione. Supponiamo che la dinamica sia indotta da una sequenza di nascite morte ed immigrazioni. Il nostro obiettivo principale è lo studio della divisione in famiglia. Supponiamo che ogni individuo che immigri fondi, al suo arrivo una famiglia. Inoltre, dopo ogni nascita, immaginiamo che il nuovo nato possa unirsi alla famiglia di origine, oppure, con una certa probabilità, iniziarne una nuova. Le urne di Pòlya forniscono modelli di riferimento per lo studio. Come osservato da De Blasi, Ruggiero e Walker (2016), sono però caratterizzate da una popolazione costantemente crescente. In questo lavoro, intendiamo generalizzare due modelli di urna di Pòlya: quello introdotto da Blackwell e MacQueen (1973) e la sua generalizzazione a due parametri definita da Pitman (1995). La nostra strategia si basa sull'introduzione di eventi di morte uniformi accanto all'abituale introduzione di nuovi individui, ottenendo così urne di Pòlya con nascite e morti. I modelli sono caratterizzate da un tasso di arrivo in [0,1]. Per il caso ad un parametro, si osserva una transizione di fase in corrispondenza del valore 1 / 2: valori superiori inducono, nel limite, partizioni con un numero infinito di componenti, con una forma analoga a quella derivata da Arratia, Barbour e Tavarè (1992) per l'urna di Blackwell e MacQueen. Valori inferiori producono invece partizioni stazionarie e reversibili con un numero finito di componenti. Identifichiamo la distribuzione stazionaria come prodotto di infinite distribuzioni di Poisson. Per il modello a due parametri, dimostriamo per valori del parametro in (0,1/2) si ottiene nuovamente una dinamica reversibile e determiniamo la distribuzione stazionaria che risulta avere una forma simile a quella ottenuta precedentemente.