Dinamica del Replicatore e Formazione di Pattern

In un modello nell'ambito della teoria evolutiva dei giochi che descriva un sistema biologico o sociale è spesso rilevante l'interazione spaziale tra i giocatori o le strategie, oltre che il rapporto che intercorre tra la dinamica spaziale e l'evoluzione temporale della popolazione. Utilizzando come modello evolutivo nel tempo la dinamica del replicatore, in questo lavoro si suppone che gli individui della popolazione oggetto dello studio si diffondano nello spazio. Il modello che deriva da queste ipotesi è un sistema di equazioni di reazione-diffusione, un sistema alle derivate parziali potenzialmente affetto da instabilità di Turing e, quindi, dalla formazione di pattern spaziali nelle soluzioni. L'interesse, sopratutto nelle scienze biologiche, per l'instabilità di Turing, motiva lo studio del fenomeno nell'ottica di un'applicazione ai giochi spaziali, agli automi cellulari e così via. In un lavoro teorico del 1989 pubblicato sul Journal of Theoretical Biology, G. T. Vickers trova una condizione necessaria che lega le strategie evolutivamente stabili di un gioco alla formazione di patterns in un determinato sistema di reazione-diffusione. Questo lavoro si propone di approfondire e ampliare questo risultato sia nel suo carattere generale, sia nella ricerca di giochi a tre e quattro giocatori che possano essere portati ad esempio, determinando la presenza o l'assenza di instabilità di Turing nel sistema di reazione-diffusione associato. Infine, accanto al lavoro analitico, è presente uno studio numerico sulle soluzioni dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali utilizzati, al fine di determinare visivamente la presenza dei patterns spaziali. Il lavoro di approssimazione numerica delle soluzioni è stato svolto sul software di calcolo Matlab, utilizzando il metodo di Crank-Nicolson alle differenze finite.