Proiettori spline quasi interpolanti per equazioni integrali non lineari

Integral equations occur in different fields of mathematical physics, practical engineering and mechanics. They are used to solve problems like physical applications, potential theory and electrostatics. Two important problems are the solution of operator equations and of the associated eigenvalue problem. In general non linear integral equations can not be solved explicitly, so it is required to obtain approximate solutions. Their resolution is a complicated problem of computational mathematics, which is related to difficulties of both a principal and computational character. Approximate solutions of these problems are obtained by replacing the integral operator by a continuous finite rank operator. The original operator equation problem is then replaced by a system of non linear equations. Here, we consider non linear Urysohn integral equations and we solve them by using some methods which are based on spline quasi-intepolating projectors. In particular we focus on the Galerkin/Collocation and Kulkarni methods. Firstly, we introduce preliminaries and we analyze projection methods based on interpolatory projectors which are proposed in literature. Then, we present some quadratic and cubic spline quasi interpolating projectors with their convergence properties. Afterwards, we analyze Kulkarni and Galerkin/Collocation projection methods based on the above projectors. We show implementation details and we propose some numerical tests, in order to show the efficiency and accuracy of our methods. Finally, we present the Matlab procedures related to the proposed methods.

Le equazioni integrali vengono usate in diversi campi della fisica matematica, della meccanica ecc. In generale, le equazioni integrali non lineari non possono essere risolte esplicitamente, perciò si utilizzano soluzioni approssimate. La determinazione della soluzione è un problema complesso di matematica numerica. Le soluzioni approssimate sono ottenute andando a sostituire l'operatore integrale con un operatore continuo con rango finito. L'equazione operatoriale iniziale viene dunque sostituita da un sistema di equazioni non lineari. In questo lavoro consideriamo equazioni integrali non lineari di Urysohn e proponiamo metodi di risoluzione basati su proiettori spline quasi interpolanti, focalizzando la nostra attenzione sui metodi di Galerkin/Collocazione e Kulkarni. Inizialmente presentiamo alcuni preliminari, analizzando metodi che si basano su proiettori interpolanti, presenti in letteratura. Successivamente introduciamo alcuni proiettori spline quasi interpolanti quadratici e cubici con le relative proprietà di convergenza. Analizziamo in seguito i metodi di Kulkarni e Galerkin/Collocazione, scegliendo come proiettori quelli sopra indicati. Mostriamo quindi i dettagli dell'implementazione e verifichiamo l'accuratezza e l'efficienza dei nostri metodi con opportuni test numerici. Infine proponiamo le procedure Matlab relative ai metodi presentati.