Geometria analitica e geometria algebrica: il teorema di Chow e applicazioni

Nel 1949, il matematico cinese Wei-Liang Chow dimostra che ogni sottovarietà analitica dello spazio proiettivo complesso è una varietà algebrica, i.e. può essere descritta globalmente da un sistema di equazioni polinomiali omogenee. In un successivo articolo di Remmert e Stein, edito nel 1953, questo fatto viene dedotto da un altro risultato, oggi noto come il teorema di estensione di Remmert-Stein. Il teorema di estensione implica infatti che il cono affine sopra a un chiuso analitico dello spazio proiettivo è un insieme analitico, e la tesi del teorema di Chow segue dalla conicità di quest'ultimo. L'obiettivo di questa trattazione è di descrivere nel dettaglio l'approccio di Remmert e Stein alla dimostrazione del teorema di Chow. A tale scopo si conduce uno studio locale degli insiemi analitici, per giungere ad una dimostrazione dettagliata del teorema di estensione nel caso delle ipersuperfici (cioè dei chiusi analitici definiti nell'intorno di ogni punto dall'annullarsi di una singola funzione olomorfa). Nell'ultimo capitolo, dedicato alle applicazioni del teorema di Chow, si dimostrano altri risultati sulla correlazione tra la geometria analitica complessa e la geometria algebrica complessa, nel caso proiettivo. Nel corso della trattazione sono stati inseriti esempi che mostrano come questo principio, di corrispondenza tra geometria algebrica e geometria analitica, non sia valido nel caso non proiettivo.