Alcune Proprietà delle Categorie Localmente Presentabili

The main topic of interest in this dissertation is the notion of presentability in category theory. More specifically, we are going to focus on the definition of presentable objects in a given category, and that of locally presentable categories, with emphasis on the main properties and examples. Secondly, we will show some applications to the general theory of monoids: for example, a proposition, due to Porst, states that in a locally presentable monoidal category every object admits a free monoid and a cofree comonoid. The dissertation consists of four chapters, organized as follows. In Chapter 1 we introduce some preliminary definitions. First, we discuss about generating families of objects for a given category; then, we define adjoint functors and we show the proof of some existence result following a constructive approach. Chapter 2 deals with locally presentable categories. We give several equivalent definitions, and we show some important properties, such as completeness, existence of a generating family of objects, wellpoweredness and cowellpoweredness. We show that module categories fall under the definition of locally (finitely) presentable categories, giving a characterization theorem for their finitely presentable objects; and finally, we collect a few results that will be useful in later chapters. Chapter 3 is about abelian categories and Grothendieck categories. We state the Gabriel-Popescu theorem, and, as a corollary, we show that all Grothendieck categories are locally presentable. Chapter 4 is about comonoids. We define comonoids in the general setting of abstract monoidal categories, and we show the main result of this chapter, namely that, if a monoidal category C is locally presentable, then the category of all comonoids in C is locally presentable as well, and every object in C admits a cofree comonoid. We later consider a few particular cases in which the existence of cofree comonoids can be proven following a more constructive approach, making use of the Special Adjoint Functor Theorem seen in Chapter 1. This method was originally developed by Abdulwahid and Iovanov. The core example is the case of coalgebras over a field: as a corollary of the Fundamental Theorem of Coalgebras, one gets that every coalgebra is a colimit of its finite-dimensional subcoalgebras, and thus that the category of all coalgebras admits a generating family made of finite-dimensional coalgebras; then, using the Special Adjoint Functor Theorem, we can use this generating family to build cofree coalgebras. We show a few particular cases of monoidal categories in which a result similar to the Fundamental Theorem of Coalgebras holds, namely the category of modules over commutative rings, the category of modules over a bialgebra or a quasi-bialgebra, and finally, the category of bimodules over a quasi-bialgebra.

L'argomento centrale di questa tesi è il concetto di presentabilità nella teoria delle categorie. Più precisamente, vengono date le definizioni di oggetto presentabile in una data categoria, e di categoria localmente presentabile, con particolare enfasi su esempi e risultati principali. In secondo luogo, verranno mostrate alcune applicazioni alla teoria generale dei monoidi, come, ad esempio, un risultato di Porst che asserisce che in una categoria monoidale localmente presentabile ogni oggetto ammette un monoide libero e un comonoide colibero. La tesi consiste di quattro capitoli, organizzati come segue. Nel Capitolo 1 vengono introdotti alcuni concetti preliminari, come le famiglie di generatori in una data categoria e i funtori aggiunti; successivamente, vengono dimostrati alcuni risultati d'esistenza per funtori aggiunti, seguendo un approccio costruttivo. Nel Capitolo 2 si tratta di categorie localmente presentabili. Si danno diverse definizioni equivalenti e si mostrano alcune proprietà salienti, come il fatto che ogni categoria localmente presentabile è completa, well-powered, co-well-powered, e che ogni categoria localmente presentabile ammette un sistema forte di generatori. Si espone una dimostrazione del fatto che le categorie di moduli sono localmente (finitamente) presentabili, e si caratterizzano gli oggetti finitamente presentabili in esse. Infine, si raccolgono alcuni risultati che verranno utilizzati nei capitoli successivi. Il Capitolo 3 riguarda categorie abeliane e categorie di Grothendieck. Si enuncia il teorema di Gabriel-Popescu, e si mostra che da questo teorema segue che ogni categoria di Grothendieck è localmente presentabile. L'argomento del Capitolo 4 sono i comonoidi. Si definiscono i comonoidi nel contesto delle categorie monoidali, e mostriamo uno dei risultati centrali, cioè, che se una categoria monoidale C è localmente presentabile, allora anche la categoria dei comonoidi in C è localmente presentabile, e ogni oggetto in C ammette un comonoide colibero. Si considerano alcuni casi particolari in cui l'esistenza dei comonoidi coliberi può essere dimostrata costruttivamente, facendo uso del Teorema Speciale del Funtore Aggiunto esposto nel Capitolo 1. Questo metodo è stato sviluppato da Abdulwahid e Iovanov. L'esempio principale è quello delle coalgebre su di un campo: come corollario al Teorema Fondamentale delle Coalgebre si ottiene che ogni coalgebra è il colimite delle sue sottocoalgebre finito-dimensionali, e che, di conseguenza, la categoria delle coalgebre ammette un sistema di generatori che consiste di coalgebre finito-dimensionali; poi, utilizzanto il Teorema Speciale del Funtore Aggiunto, si possono costruire le coalgebre colibere a partire da questo sistema di generatori. Sucessivamente, vengono esposti alcuni casi di categorie monoidali in cui sussistono risultati analoghi al Teorema Fondamentale delle Coalgebre, cioè, categorie di moduli sopra ad anelli commutativi, categorie di moduli su bialgebre o quasi-bialgebre, e infine, categorie di bimoduli su quasi-bialgebre.