Spazi di getti e calcolo delle variazioni: variazioni seconde e di ordine superiore nel contesto della sequenza variazionale

Jet prolongations and variational sequences are known to be powerful tools for the geometric study of variational calculus. In particular, in the framework of jet prolongations, the problem of studying higher order variations of Lagrangians can be fruitfully approached. Because of the difficulties in working in local coordinates, due to the remarkable complexity of calculations, we propose an abstract approach based on Krupka's variational sequence. After a review of the theory of jet prolongations and of geometric calculus of variations, we will use the interior Euler operator, an essential tool for the representation of the variational sequence by differential forms, in order to handle easily higher order variations. As a result, we will show by means of an inductive reasoning that suitable higher order variation formulas hold and that various consequences on conserved currents can be obtained. The particular case of second variations will be studied in more detail: the so called Jacobi morphism will be introduced and its relation with conservation laws will be explored. Moreover, an explicit example concerning Yang-Mills theories on a Minkowskian background will be worked out. We will present some original results and we expect that the manageability of the approach will lead to further developments.

Spazi di getti e sequenze variazionali sono noti per essere strumenti potenti per lo studio geometrico del calcolo variazionale. In particolare, nell'ambiente dato dagli spazi di getti, il problema di studiare variazioni di ordine superiore di Lagrangiane può essere affrontato efficacemente. A causa delle difficoltà che si incontrano lavorando in coordinate locali, dovute alla notevole complessità dei calcoli, noi proponiamo un approccio astratto, basato sulla sequenza variazionale di Krupka. Dopo aver presentato la teoria degli spazi di getti e quella del calcolo delle variazioni geometrico, useremo l'operatore interno di Eulero, uno strumento essenziale per la rappresentazione della sequenza variazionale tramite forme differenziali, per maneggiare con facilità variazioni di ordine superiore. Tramite un ragionamento induttivo, dimostreremo formule di variazione di ordine arbitrario e ricaveremo alcune conseguenze relative a correnti conservate. Il caso particolare della variazione seconda sarà studiato in maggiore dettaglio: introdurremo il così detto morfismo di Jacobi e ne studieremo la relazione con le leggi di conservazione. Inoltre, produrremo un esempio esplicito nelle teorie di Yang-Mills su background Minkowskiano. Presenteremo alcuni risultati originali e riteniamo che la maneggevolezza dell'approccio porterà ad ulteriori sviluppi.