Risoluzione numerica del modello di Black-Scholes mediante il metodo alle differenze finite.

The thesis focuses on the analysis of particular numerical methods for solving the heat equation and their application to the Black-Scholes model. In particular, the first chapter will introduce and classify partial differential equations. Since the Black-Scholes equation can be classified as a parabolic partial differential equation, the second chapter will be devoted to the study of the finite difference method (a numerical technique widely used for the resolution of partial differential equations) for this type of equation. The main finite difference schemes, forward, central and backward formulas, will be analysed, discussing the advantages and limitations of each in terms of accuracy and computational complexity, and applied for the heat equation resolution. Finally, numerical tests will be discussed illustrating the application of the difference method. In the third chapter, we will explore the use of the Black-Scholes model for the valuation of financial options, a fundamental tool in financial market theory. In particular, we will apply the numerical techniques introduced in the previous chapter. In addition to the theoretical explanation, practical examples will be given showing how to calculate the price of options in different scenarios. Finally, in the fourth chapter we will describe in detail all the procedures developed and implemented using MATLAB software.

La tesi si focalizza sull’analisi di particolari metodi numerici per la risoluzione dell’equazione del calore e la loro applicazione al modello di Black-Scholes. In particolare, nel primo capitolo verranno introdotte e classificate le equazioni differenziali alle derivate parziali. Poiché l’equazione di Black-Scholes può essere classificata come equazione differenziale alle derivate parziali di tipo parabolico, il secondo capitolo sarà dedicato allo studio del metodo delle differenze finite (una tecnica numerica molto utilizzata per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali) per tale tipo di equazione. Saranno analizzati i principali schemi di differenze finite, in avanti, centrali e all’indietro, discutendo i vantaggi e i limiti di ciascuno in termini di accuratezza e complessità computazionale e verranno applicati per la risoluzione dell’equazione del calore. Infine, verranno discussi test numerici che illustrano l’applicazione del metodo delle differenze. Nel terzo capitolo sarà approfondito l’utilizzo del modello di Black-Scholes per la valutazione del prezzo delle opzioni finanziarie, uno strumento fondamentale nella teoria dei mercati finanziari. In particolare, applicheremo le tecniche numeriche introdotte nel capitolo precedente. Oltre alla spiegazione teorica, saranno forniti esempi pratici che dimostrano come calcolare il prezzo delle opzioni in diversi scenari. Infine, nel quarto capitolo saranno descritte in dettaglio tutte le procedure sviluppate e implementate utilizzando il software MATLAB.