Risultati di esistenza per alcune classi di equazioni di Schrödinger quasilineari

In this work, some results of existence of solutions for a class of elliptic partial differential equations in R^N are proved. These equations are derived from the search of standing wave solutions to a quasilinear Schrödinger equation. The classical variational approach, which consists in searching solutions as critical points of a suitable differentiable functional, can not be directly applied to these equations. Thus, the problem is reformulated via a change of variables to obtain a new "dual" equation, which can be studied by variational methods. The work is based on two papers: "Solutions for a quasilinear Schrödinger equation: a dual approach" by Mathieu Colin and Louis Jeanjean (2003) and "Quasilinear Schrödinger equations with unbounded or decaying potentials" by Uberlandio B. Severo and Gilson M. de Carvalho (2018). In these papers the solutions of the dual equation are found as critical points of a functional which is defined in a function space which depends on the features of the initial equation. In particular, in the first work (analyzed in Chapter 2) more restrictive hypotheses are assumed, which allow to define the functional in a Sobolev space. In Chapter 3 the main properties of the Orlicz spaces, which are necessary to discuss the second paper, are introduced. The latter (presented in Chapter 4) defines the functional in an Orlicz space, under more general hypotheses.

In questa tesi si dimostrano risultati di esistenza di soluzioni per una classe di equazioni differenziali ellittiche in R^N. Queste equazioni emergono dalla ricerca di onde stazionarie per un'equazione di Schrödinger quasilineare. L'approccio variazionale classico, che consiste nel cercare soluzioni come punti critici di un opportuno funzionale differenziabile, non può essere applicato direttamente a queste equazioni. Il problema viene perciò riformulato tramite un cambio di variabili, e si ottiene un'equazione detta "duale", la quale si presta all'applicazione dei metodi variazionali. Il lavoro è basato su due articoli: "Solutions for a quasilinear Schrödinger equation: a dual approach" di Mathieu Colin e Louis Jeanjean (2003) e "Quasilinear Schrödinger equations with unbounded or decaying potentials" di Uberlandio B. Severo e Gilson M. de Carvalho (2018). In questi lavori le soluzioni dell'equazione duale si trovano come punti critici di un funzionale, definito in uno spazio funzionale che dipende delle caratteristiche dell'equazione iniziale. In particolare, nel primo articolo (analizzato nel Capitolo 2) si assumono ipotesi più restrittive che permettono di definire il funzionale in uno spazio di Sobolev. Nel Capitolo 3 sono esposte le principali proprietà degli spazi di Orlicz, necessarie per la discussione del secondo articolo. Quest'ultimo (presentato nel Capitolo 4) definisce il funzionale in uno spazio di Orlicz, sotto ipotesi più generali.