Formule di quadratura gaussiane per spline e applicazioni alla risoluzione di equazioni integrali

Numerical integration is a very interesting topic in Mathematics due to its applicability in several fields, such as the numerical solution of differential and integral equations. In this thesis Gaussian quadrature rules for spline spaces have been constructed and analysed. They are optimal for these spaces. Spline spaces with different degrees and regularities have been considered and quadrature rules have been constructed both in closed form and using homotopy continuation. Since a natural application of quadrature formulas is the numerical solution of integral equations, that occur in different scientific and engineering problems, we have proposed the Nyström method based on these formulas for the numerical solution of Fredholm linear integral equations of the second kind and non linear Hammerstein integral equations. We have implemented several numerical tests in the Matlab environment and we have provided also comparisons with other methods proposed in the literature.

La valutazione numerica di integrali è di grande interesse nell'ambito matematico per la sua applicabilità in diversi campi come ad esempio la risoluzione numerica di equazioni differenziali ed integrali. Nella tesi sono state costruite e analizzate formule di quadratura gaussiane per spazi spline, quindi ottimali per tali spazi. Sono stati considerati spazi spline di gradi e regolarità diverse costruendo formule di quadratura sia in forma chiusa sia utilizzando il metodo di continuazione. Poiché una naturale applicazione delle formule di quadratura è la risoluzione numerica di equazioni integrali, che appaiono in molti problemi scientifici ed ingegneristici, si è proposto il metodo di Nyström basato su tali regole di quadratura per la risoluzione numerica delle equazioni integrali lineari di Fredholm di seconda specie e non lineari di Hammerstein. Sono stati implementati in ambiente Matlab numerosi test numerici, fornendo anche dei confronti con altri metodi proposti in letteratura.