Approssimazione iterata progressiva e multilivello mediante curve e superfici B-spline

L’argomento di questo lavoro è l’approssimazione iterata progressiva (PIA) per l’approssimazione di curve e superfici. Il metodo PIA, introdotto per la prima volta da Qi et al. nel 1975, è stato oggetto di interesse e di ricerca per numerosi altri matematici grazie alla sua semplicità e flessibilità. Esso permette di approssimare un insieme di punti assegnati scegliendoli come punti di controllo e aggiustandone le posizioni a ogni iterazione. Attraverso questa procedura si genera una successione di curve (o superfici) che tende alla curva (o superficie) interpolante i punti assegnati. Nel primo capitolo, dopo un richiamo ai concetti fondamentali del metodo PIA classico, costruiamo il metodo RLSPIA prima per le curve e poi per le superfici, facendo riferimento allo studio presentato da Liu et al. nel 2018. Esso permette di scegliere in modo opportuno i punti di controllo a partire da un insieme di punti assegnati e genera una successione di curve (o superfici) che tende alla curva (o superficie) ai minimi quadrati regolarizzati, che meglio approssima i punti assegnati. Ne analizziamo la convergenza e i criteri per un’opportuna scelta dei pesi, coinvolti a ogni iterazione nel calcolo dei punti di controllo. Nel secondo capitolo costruiamo l’estensione bilivello del metodo PIA prima per le curve e poi per le superfici e definiamo i criteri e la procedura di costruzione del metodo su p + 1 livelli con p opportuno. L’obiettivo è migliorare la precisione del metodo PIA classico. Nel terzo capitolo procediamo in modo analogo per costruire l’estensione bilivello del metodo RLSPIA prima per le curve e poi per le superfici. Nel quarto capitolo riportiamo e confrontiamo alcuni risultati numerici ottenuti dall’applicazione del metodo PIA e del metodo PIA bilivello per le curve e per le superfici. Nel quinto capitolo offriamo uno spunto per eventuali sviluppi futuri. Infine riportiamo in Appendice i codici e le funzioni implementati in Matlab, utilizzati per ottenere i risultati numerici.