L'interpolazione multivariata e lo screening mammografico: risoluzione del problema dell'image registration con RBF e applicazione ad immagini mammografiche

Al giorno d'oggi, l'elaborazione delle immagini e le tecnologie che ne stanno alla base sono in rapida crescita in quanto costituiscono un'area di ricerca centrale in diversi ambiti scientifici, come l'astronomia, l'astrofisica, la biologia, la chimica, la fisica, la medicina, la genetica, ma anche l'arte e la criminologia. L'elaborazione di immagini si occupa di effettuare operazioni su una immagine al fine di ottenerne una nuova migliorata: da questa poi è possibile estrarre particolari informazioni, confrontarla o combinarla con altre. In questo contesto ha un ruolo fondamentale la registrazione di immagini che viene utilizzata per allineare due o più immagini scattate in momenti diversi, da macchinari diversi o semplicemente da punti di vista differenti. In questa tesi ci concentreremo principalmente sul settore medico: un problema fondamentale, infatti, nell'imaging medico è rappresentato proprio dalla necessità di allineare le immagini. Immagini registrate vengono attualmente usate giornalmente con diversi fini, come la verifica della buona riuscita di un intervento o l'analisi del tempo di evoluzione di un determinato agente quando questo viene iniettato nel corpo di un paziente. Inoltre, la registrazione di immagini è fondamentale in quanto permette di confrontare le diverse tipologie di immagini mediche: da una parte si hanno le immagini anatomiche, dall'altra parte ci sono le immagini funzionali. Poiché nella registrazione di immagini è necessario tenere conto della natura dell'oggetto in immagine, è chiaro che, siccome le diverse parti del corpo hanno struttura e natura diversa, non è possibile dare un metodo generale applicabile a qualsiasi situazione. Per questo motivo ci concentreremo su immagini mammografiche e sul loro confronto, fondamentale per la diagnosi del cancro al seno. La tesi è organizzata come segue. Nel Capitolo 1 introdurremo dal punto di vista matematico il problema della registrazione di immagini, proponendo una panoramica generale sui possibili metodi di registrazione. Al termine del capitolo verrà posta l'attenzione sulla registrazione basata sui landmark, in quanto nel corso della tesi il problema della registrazione di immagini verrà portato avanti secondo questo setting. Nel Capitolo 2 ci concentreremo su un particolare approccio al problema: considereremo il contesto dell'interpolazione multivariata di dati sparsi. Presenteremo quindi la teoria generale alla base del problema con particolare attenzione al problema dell'unicità della soluzione: per questo motivo verrà proposta una prima risoluzione del problema tramite funzioni di base radiali e strettamente definite positive. Nel Capitolo 3 verrà poi presentata una correzione del metodo presentato precedentemente che permetterà di riprodurre fedelmente anche funzioni apparentemente banali. Analogamente a quanto fatto nel capitolo precedente, affronteremo il problema di ben-posatezza del problema di interpolazione e troveremo aiuto nelle funzioni di base radiali e strettamente condizionatamente definite positive. Una volta introdotti tutti gli ingredienti fondamentali, arriverà il momento di metterli insieme. Come già accennato i metodi proposti verranno applicati a immagini mammografiche; per questo motivo, nel Capitolo 4 verrà data una panoramica generale sul seno. Capito il contesto e gli oggetti da utilizzare, nel Capitolo 5 si darà applicazione dei metodi applicandoli ad immagini mammografiche bidimensionali.