Frazioni Continue e Applicazioni

Alla base di questa tesi di laurea vi è l'analisi delle Frazioni Continue. L'obiettivo dell'elaborato vuole essere quello di porre l'attenzione sull'importanza di tale strumento sia per lo studio della Teoria dei Numeri sia per mostrare le sue applicazioni in altri campi matematici. Questo elaborato è articolato in cinque capitoli: nel primo capitolo vengono forniti gli aspetti teorici più importanti distinguendo tra frazioni continue limitate e illimitate. Nel secondo capitolo vengono introdotte e classificate le funzioni continue periodiche, viene enunciato il teorema di Pell Fermat necessario per risolvere le equazioni della forma x^{2}-Ny^{2}=+/-1, di cui vengono forniti alcuni esempi. Il terzo capitolo è dedicato all'approssimazione di un numero sia questo razionale o irrazionale; rispetto all'approssimazione di un numero irrazionale per mezzo di un numero razionale si è dimostrato l'Algoritmo di Ostrowski e il teorema di Hurwitz sia in chiave moderna che in chiave antica. Negli ultimi due capitoli infine sono stati scelti e analizzati nel dettaglio alcuni problemi risolvibili per mezzo delle frazioni continue. Nell'ambito dell'analisi matematica si sono utilizzate le frazioni continue per cercate le soluzioni di equazioni differenziali lineari del secondo ordine, mentre nell'ambito dell'approssimazione polinomiale si è cercato di individuare il collegamento esistente tra frazioni continue e sequenze ortogonali. Interessante, è stato scoprire come in campo astronomico le frazioni continue vengono utilizzate per la costruzione dei calendari giuliano e gregoriano e per la costruzione del planetario Automatico di Huygens. Infine, dopo una breve introduzione alla crittografia, si è posta l'attenzione sull'utilizzo delle frazioni continue per attaccare il crittosistema RSA, detto Attacco di Wiener.