Problemi ellittici radiali con potenziali di tipo Hardy-Dieudonné​

Beginning from the study of nonlinear elliptic problems like $-\Delta u+Q(|x|) u=f(|x|, u)$ or $-\Delta_{p}u+Q(|x|) |u|^{p-2} u=g(|x|, u)$, $1<p<N$, in $\mathbb{R}^{N}$, by variational approach, the thesis mainly focuses on the study of embedding theorems of weighted Sobolev spaces. In particular, after recalling the definition and the main properties of the sum space $L^{q_1}_{K}+L^{q_2}_{K}$, we take into account the existent - continuous and compact - embedding results of the radial subspace of $H^{1}_{Q}(\mathbb{R}^{N})$ into $L^{q_1}_{K}+L^{q_2}_{K}$, or in the peculiar case where $q=q_1=q_2$, into $L^{q}_{K}(\mathbb{R}^{N})$. We then consider the generalization to the space $W^{1,p}_{Q}(\mathbb{R}^{N})$, $1<p<N$, with related embedding theorems concerning its radial subspace. Then the thesis proposes to extend the results studied until now to potentials comparable with the so called Hardy-Dieudonné Comparison Class: we begin with the case $1<p<N$ and then we investigate the case $p=N$. In conclusion, we use the embedding results for potentials comparable with the Hardy-Dieudonné Comparison Class previously proved, to get existence results for the elliptic problems mentioned before.

Partendo dallo studio di problemi ellittici non lineari del tipo $-\Delta u+Q(|x|) u=f(|x|, u)$ oppure $-\Delta_{p}u+Q(|x|) |u|^{p-2} u=g(|x|, u)$, $1<p<N$, in $\mathbb{R}^{N}$, via metodi variazionali, la tesi si concentra principalmente sullo studio di teoremi di immersione di spazi di Sobolev pesati. In particolare, dopo avere enunciato le principali proprietà dello spazio $L^{q_1}_{K}+L^{q_2}_{K}$, sono presi in considerazione i risultati esistenti di immersione - continua e compatta - del sottospazio radiale di $H^{1}_{Q}(\mathbb{R}^{N})$ in $L^{q_1}_{K}+L^{q_2}_{K}$ o, nel caso particolare in cui $q=q_1=q$, in $L^{q}_{K}(\mathbb{R}^{N})$. Si passa poi alla generalizzazione allo spazio $W^{1,p}_{Q}(\mathbb{R}^{N})$, $1<p<N$, con i relativi teoremi di immersione per il suo sottospazio radiale. La tesi si propone quindi di ampliare i risultati fino a questo punto studiati per potenziali comparabili con la classe di Hardy-Dieudonné: oltre al caso $1<p<N$ si esamina anche il caso $p=N$. Infine, sono utilizzati i risultati di immersione per potenziali comparabili con la classe di Hardy-Dieudonné dimostrati, per ottenenere risultati di esistenza per i problemi ellittici sopracitati.