Introduzione alla teoria dei codici

This paper explores the theory of codes, a set of mathematical rules used to represent data in a format that facilitates its transmission, storage, and, above all, protection against errors. After presenting some mathematical definitions and basic assumptions, we turn to error-detecting and error-correcting codes, studying the estimation of the code's cardinality using different methods. The central part of the thesis is dedicated to the decoding of certain classes of codes, with a particular focus on linear codes, error correction algorithms for binary codes, and the study of Hamming codes. In conclusion, the importance of codes in various areas of daily life is evident, such as in telecommunications (phone and Wi-Fi), satellite communications, data storage, optical discs (CD, DVD, Blu-ray), audio and video streaming. Two practical applications are then studied, namely in RAM memory and in QR Code. The entire study was conducted through the examination of relevant books and academic notes.

Questo elaborato esplora la teoria dei codici, cioè un insieme di regole matematiche usate per rappresentare dati in un formato che facilita la loro trasmissione o memorizzazione, e soprattutto, la loro protezione contro gli errori. Dopo aver enunciato alcune definizioni matematiche ed assunzioni di base, si vira verso i codici rilevatori e correttori di errori, studiando la stima della cardinalità del codice con diversi metodi. La parte centrale della tesi è dedicata alla decodifica di alcune classi di codici, in particolar modo si analizza la decodifica dei codici lineari con il metodo della sindrome, l'algoritmo di correzione di un errore nel caso di codici binari e si studiano i codici di Hamming. In conclusione si può quindi notare l’importanza dei codici in particolari ambiti della vita quotidiana, quali le telecomunicazioni (cellulari e Wi-Fi), le comunicazioni satellitari, le memorie di archiviazione dei dati, i dischi ottici (CD, DVD, Blu-ray), le trasmissioni di dati per lo streaming di audio e video. Vengono quindi studiate due applicazioni pratiche, ovvero nella memoria RAM e nei QR Code. L’intero studio è stato fatto grazie alla lettura di libri inerenti e dispense accademiche.