Approssimazione low rank di funzioni in due variabili mediante funzioni spline

Approximation theory is one of the areas developed by numerical analysis that allows from a theoretical and applicative point of view to study methods and results for the approximation of functions in one or more real variables. The main reason that leads to the emergence of such methods is, for example, the resolution of differential problems or isogeometric analysis; in fact it is advantageous to be able to obtain an analytical expression of a simplest possible function, so that it can be implemented in a computer. Among these stand out the low-rank approximation methods that are increasingly used in applications. In this thesis we illustrate the concept of low-rank approximation both in the matrix and in the functional field, underlining which algorithms allow the creation of a similar approximation, with the further purpose of illustrating the similarities that exist between them. In particular we present the Cross Approximation algorithm for functions in two variables that is of central importance since it allows to obtain a low rank approximation; more precisely, we are dealing with a modified version that uses interpolating spline functions with the advantage of having greater control over the error committed by the method.

La teoria dell'approssimazione è uno degli ambiti sviluppati dall'analisi numerica che permette da un punto di vista sia teorico sia applicativo di studiare metodi e risultati per l'approssimazione di funzioni in una o in più variabili reali. La motivazione principale che porta alla nascita di tali metodi è ad esempio la risoluzione di problemi differenziali o di analisi isogeometrica; infatti è vantaggioso riuscire ad ottenere un'espressione analitica di una funzione più semplice possibile, così da poterla implementare in un calcolatore. Tra questi spiccano i metodi di approssimazione low rank che sono sempre più usati nelle applicazioni. In questa tesi illustriamo il concetto di approssimazione low rank sia in ambito matriciale sia in ambito funzionale sottolineando quali algoritmi permettono la creazione di una simile approssimazione, con l'ulteriore scopo di illustrare le analogie che intercorrono tra essi. In particolare presentiamo l'algoritmo di Cross Approximation per funzioni in due variabili che riveste un'importanza centrale poiché permette di ottenere un'approssimazione low rank; più precisamente trattiamo una versione modificata che utilizza le funzioni spline interpolanti con il vantaggio di avere maggiore controllo sull'errore commesso dal metodo.