Gli spazi di funzioni invarianti per traslazioni intere, detti Shift-Invariant (SI), rivestono un ruolo importante in diversi settori dell'analisi armonica pura ed applicata. Da questo deriva il nostro interesse nello studiare frame che siano in grado di approssimare gli elementi di un certo spazio SI. Questa tesi si prefigge di caratterizzare i frame costituiti da famiglie della forma $V(\mathcal{A}) = \{T_k\varphi \, : \, k \in \mathbb{Z}, \varphi \in \mathcal{A}\} $, dove $\mathcal{A}$ è un sottoinsieme numerabile di $L^2(\mathbb{R})$ oppure di $H^s(\mathbb{R})$ e $T_k$ rappresenta l'operatore di traslazione per l'intero $k$ opportunamente definito sullo spazio di partenza. Il caso di $L^2(\mathbb{R})$ è stato ampiamente studiato (\cite{Bownik}, \cite{Ron&Shen}) ed è stato provato che è possibile fornire una caratterizzazione delle proprietà di frame per $V(\mathcal{A}) $ studiando l'insieme formato dalle fibre degli elementi di $\mathcal{A}$, da cui il nome \textit{fiberization techniques}. La parte finale dell'elaborato è dedicata all'estensione di tali risultati agli spazi di Sobolev $H^s(\mathbb{R})$. Nonostante varie generalizzazioni del caso $L^2(\mathbb{R})$ presenti in letteratura, non siamo a conoscenza di specifici risultati riguardanti gli spazi di Sobolev e pertanto il materiale presentato su tale argomento costituisce la parte originale. Più precisamente lo strumento fondamentale al fine di caratterizzare i frame di traslate è l'isomorfismo delle fibre, o fiberization isomorphism in inglese, $\mathcal{T} : L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(\mathbb{T}, l^2(\mathbb{Z}))$ che permette di mettere in relazione un elemento $ f \in L^2(\mathbb{R})$ con le corrispondenti fibre nello spazio $l^2(\mathbb{Z})$ parametrizzate su $\mathbb{T}$ e la cui definizione verrà adattata agli spazi di Sobolev.
Fiberization techniques per frame di traslate e spazi invarianti per traslazioni
PERNA, MARGHERITA
2017/2018
Abstract
Gli spazi di funzioni invarianti per traslazioni intere, detti Shift-Invariant (SI), rivestono un ruolo importante in diversi settori dell'analisi armonica pura ed applicata. Da questo deriva il nostro interesse nello studiare frame che siano in grado di approssimare gli elementi di un certo spazio SI. Questa tesi si prefigge di caratterizzare i frame costituiti da famiglie della forma $V(\mathcal{A}) = \{T_k\varphi \, : \, k \in \mathbb{Z}, \varphi \in \mathcal{A}\} $, dove $\mathcal{A}$ è un sottoinsieme numerabile di $L^2(\mathbb{R})$ oppure di $H^s(\mathbb{R})$ e $T_k$ rappresenta l'operatore di traslazione per l'intero $k$ opportunamente definito sullo spazio di partenza. Il caso di $L^2(\mathbb{R})$ è stato ampiamente studiato (\cite{Bownik}, \cite{Ron&Shen}) ed è stato provato che è possibile fornire una caratterizzazione delle proprietà di frame per $V(\mathcal{A}) $ studiando l'insieme formato dalle fibre degli elementi di $\mathcal{A}$, da cui il nome \textit{fiberization techniques}. La parte finale dell'elaborato è dedicata all'estensione di tali risultati agli spazi di Sobolev $H^s(\mathbb{R})$. Nonostante varie generalizzazioni del caso $L^2(\mathbb{R})$ presenti in letteratura, non siamo a conoscenza di specifici risultati riguardanti gli spazi di Sobolev e pertanto il materiale presentato su tale argomento costituisce la parte originale. Più precisamente lo strumento fondamentale al fine di caratterizzare i frame di traslate è l'isomorfismo delle fibre, o fiberization isomorphism in inglese, $\mathcal{T} : L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(\mathbb{T}, l^2(\mathbb{Z}))$ che permette di mettere in relazione un elemento $ f \in L^2(\mathbb{R})$ con le corrispondenti fibre nello spazio $l^2(\mathbb{Z})$ parametrizzate su $\mathbb{T}$ e la cui definizione verrà adattata agli spazi di Sobolev.File | Dimensione | Formato | |
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