Stochastic clustering regime for a billiard model of wet granular matter

Kinetic theory of granular gases was developed in the last decades in a way that accounts for diluted gases of mesoscopic particles whose motion is dominated by repulsive, dissipative interactions. The equivalent theory for wet granular gases is not yet formulated due to the complicated nature of the attractive interaction caused by the liquid layer that surrounds the particles; this interaction is dissipative and can lead to the formation of clustered states. In this work, we analyze a two-particles model to study the clustering regime. The distribution of the clustering times is analyzed using a stochastic formalism, in which we study the Fokker-Plank equation for the diffusional approximation of the original deterministic model. This analysis allows us to derive the asymptotic behaviour of the clustering probability as a function of time. Starting from this result, we are able to derive a closed formula for the conditional density of the speed, solving the Fokker-Plank equation under a scaling hypothesis. The theoretical results on the distribution of clustering times and on the speed distribution are then compared with the numerical results obtained simulating the deterministic evolution of the model. Since the theoretical predictions are in agreement with the numerical results, the model here studied is a candidate to be used as a starting point of a kinetic theory for systems that are characterized by attractive, repulsive interactions, like wet granular materials.

La teoria cinetica dei gas granulari ha avuto sviluppi rilevanti negli ultimi decenni, almeno per quanto riguarda sistemi diluiti in cui le interazioni dominanti sono di tipo repulsivo e dissipativo. Al contrario, la teoria corrispondente per la materia granulare bagnata non è ancora stata sviluppata a causa della natura complicata dell'interazione indotta dalla presenza di liquido sulla superficie dei grani, che è di tipo attrattivo e dissipativo, e che rende possibile la formazione di agglomerati. In questa tesi analizziamo un modello dinamico a due particelle per indagare il regime di formazione di tali agglomerati. La distribuzione dei tempi di formazione degli agglomerati viene studiata nel contesto di un formalismo stocastico, che prevede lo studio dell'equazione di Fokker-Planck relativa ad una approssimazione diffusionale del sistema dinamico deterministico originario. Questa analisi permette di derivare analiticamente l'andamento asintotico per la probabilità di formazione degli agglomerati nel tempo. A partire da ciò mostriamo come ottenere la distribuzione condizionale delle velocità, risolvendo l'equazione di Fokker-Plank sotto un'ipotesi di scaling. I risultati teorici sulla distribuzione dei tempi di formazione degli agglomerati e sulla distribuzione delle velocità sono confrontati con i risultati numerici ottenuti simulando il modello deterministico. L'accordo fra i risultati della teoria stocastica e le simulazioni numeriche mostra che il modello in questione è un candidato per essere usato come punto di partenza per una teoria cinetica dei materiali granulari caratterizzati dalla presenza di interazioni attrattive e dissipative.