Teorie di Chern-Simons supersimmetriche e Teorie di Chern-Simons per supergruppi

Supersymmetric Chern-Simons theories are reviewed. In particular the admissible gauge groups and interacrions are discussed. In the rheonomic approach the most general N=2 D=3 Cher-Simons gauge theory is presented. In this formulation the moduli space is a generic Khaler manifold. The gauge group is interpreted as the holomorphic isometry group. When the Khaler manifold is promoted to an HyperKhaler manifold the theory is enhanced to N=3 supersymmetry. In this case the gauge group is identified with the tri-holomorphic isometry group. Upon suitable conditions on the tri-holomorphic moment maps the theory is enhanced to N=4 supersymmetry. In the case of a flat HyperKhaler manifold the complete set of solutions of these conditions has been determined. This latter implies the presence of a Lie super-algebra SA. Furthermore supersymmetric Chern-Simons theory is equivalent to Chern-Simons theory for the gauge-fixed super-algerba SA. In the case of a curved HyperKhaler manifold these problems are still open.

La prima parte della tesi consiste di una rassegna delle teorie di Chern-Simons supersimmetriche. I gruppi di gauge e i potenziali ammissibili vengono discussi. La formulazione reonomica permette di descrivere le più generali teorie di Chern-Simons N=2 supersimmetriche in D=3. Infatti per descrivere gli iper-multipletti scalari si fa uso di una generica varietà di Khaler che presenta il gruppo di gauge come isometria olomorfa. Se tale varietà oltre ad essere Khaleriana è anche iper-Khaleriana la teoria presenta una supersimmetria N=3. In questo caso il gruppo di gauge è interpretato come gruppo delle isometrie tri-olomorfe della varietà di HyperKhaler. L'ulteriore incremento da N=3 a N=4 della supersimmetria richiede che alcune condizioni algebriche siano soddisfatte dalla mappa momento delle isometrie tri-olomorfe. La soluzione di tali condizioni nel caso di una vairetà di iper-Khaler piatta è nota e produce una classificazione dei gruppi di gauge ammissibili. Nel caso di varietà di iper-Khaler curve è nota una sola soluzione mentre la classificazione di tutte le possibili soluzioni rimane un problema aperto. Nel caso piatto la soluzione delle condizioni sulle mappe momento garantisce l'emergere di una super-algerba di Lie SA associata al modello. In questo caso esiste un'interessante equivalenza tra l'originale teoria supersimmetrica di Chern-Simons N=4 e una teoria di Chern-Simons per la super-algebra SA gauge-fissata. In tale interpretazione i campi di materia corrispondono a campi di ghost e super-ghost. Sono problemi aperti di interesse sia la classificazione delle teorie N=4 su iper-Khaler curvi che la loro possibile relazione con super-algebre di Lie, in particolare pensando a iper-Khaler curvi ottenuti come quozienti di iper-Khaler piatti.