Decadimento e regolarità per autofunzioni degli operatori di localizzazione

This work aims to apply time-frequency analysis to the study of localization operators. Such operators have become popular with the paper by I. Daubechies in 1988 and from then widely investigated by several authors in different fields of mathematics: from signal analysis to pseudodifferential calculus. The localization operator $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$ with symbol $a$ and windows $\varphi_1,\varphi_2$ is formally defined to be \[A^{\varphi_1,\varphi_2}_a f(t)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{2d}}a(x,\omega)V_{\varphi_1}f(x,\omega)M_\omega T_x\varphi_2(x,\omega)\,dxd\omega,\] where: $f\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ is a tempered distribution and $V_{\varphi_1}f$ its Short-Time Fourier Transform, $M_\omega$ and $T_x$ are the modulation and translation operators. The focus of this thesis is the properties of \emph{eigenfunctions} of localization operators. The study of eigenvalues and eigenfunctions of a restrict class of localization operators, namely of the type $A_{\chi_\Omega}^{\varphi,\varphi}$, where $\Omega$ is a compact domain of the time-frequency plane and the window $\varphi$ is in $L^2(\mathbb{R}^d)$, was pursued in many works which focused on the asymptotic behaviour of the eigenvalues, depending on the domain $\Omega$. The perspective of this work is different: we study properties of eigenfunctions of a localization operator $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$ having a general symbol $a$, without any requirement on the geometry of the function $a$. In particular, the symbol $a$ does not need to have a compact support. To chase this goal, we consider as symbols tempered distribution in modulation spaces $M^{p,q}_m(\mathbb{R}^{2d})$ with $0<p,q\leq\infty$, hence the quasi-Banach case in considered also. The main result of this work, which was obtained in an article (of which I'm co-author) submitted to Journal of Functional Analysis and available on ArXiv, is exhibited in Chapter 4. This can be summarised as follows:{\em Consider a symbol $a\in M^{p,\infty}(\mathbb{R}^{2d})$, $0<p< \infty$, and non-zero windows $\varphi_1,\varphi_2\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$. If $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ is an eigenfunction of the localization operator $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$, that is $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a f =\lambda f$, with $\lambda\not=0$, then $f\in \bigcap_{\gamma>0} M^\gamma(\mathbb{R}^d)$.} Roughly speaking, this means that $L^2$ eigenfunctions of such localization operators reveal to be extremely well-localized. To make this statement more precise, we shall also use Gabor frames. Chapter $2$ is devoted to the definition and main properties of Gabor frames. In the last part of Chapter $4$ we show that, if the eigenfunction $f$ satisfies the conditions above, then $f$ is highly compressed onto a few Gabor atoms.

Scopo di questa tesi è applicare l'analisi tempo-frequenza allo studio degli operatori di localizzazione. Tali operatori hanno ottenuto notorietà in seguito al lavoro di I. Daubechies del 1988 e da allora sono stati largamente studiati da vari autori in diversi ambiti, dall'analisi dei segnali al calcolo pseudodifferenziale. L'operatore di localizzazione $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$ con simbolo $a$ e finestre $\varphi_1,\varphi_2$ è definito mediante l'integrale formale \[A^{\varphi_1,\varphi_2}_a f(t)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{2d}}a(x,\omega)V_{\varphi_1}f(x,\omega)M_\omega T_x\varphi_2(x,\omega)\,dxd\omega,\] dove: $f\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ è una distribuzione temperata e $V_{\varphi_1}f$ la sua Short-Time Fourier Transform, $M_\omega$ e $T_x$ sono gli operatori di modulazione e traslazione. Il presente lavoro si focalizza sulle proprietà delle {\em autofunzioni} di tali operatori. Lo studio degli autovalori e delle autofunzioni degli operatori di localizzazione è stato sino ad ora largamente svolto limitandosi a finestre $\varphi_1=\varphi_2$ in $L^2(\mathbb{R}^d)$ e simboli $a=\chi_\Omega$, con $\Omega$ compatto in $\mathbb{R}^{2d}$, focalizzandosi sul comportamento asintotico degli autovalori. La prospettiva qui presa in considerazione è diversa: investighiamo le proprietà delle autofunzioni di operatori $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$ aventi un generico simbolo, non prescriviamo condizioni sulla geometria della funzione $a$. In particolare, $a$ non deve essere necessariamente a supporto compatto. A tal fine, andiamo a considerare come simboli distribuzioni temperate appartenenti agli spazi di modulazione $M^{p,q}_m(\mathbb{R}^{2d})$ con $0<p,q\leq\infty$, includiamo dunque anche il caso quasi-Banach. Il risultato principale, presentato in un articolo (del quale sono coautore) sottoposto al Journal of Functional Analysis e disponibile su ArXiv, è riportato nel Capitolo 4 del presente lavoro. Questo può essere riassunto come segue: {\em Sia $a\in M^{p,\infty}(\mathbb{R}^{2d})$ con $0<p<\infty$ e siano $\varphi_1,\varphi_2\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)\smallsetminus\{0\}$. Se $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ è un'autofunzione dell'operatore di localizzazione $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a$, i.e. $A^{\varphi_1,\varphi_2}_a f =\lambda f$ con $\lambda\not=0$, allora $f\in \bigcap_{\gamma>0} M^\gamma(\mathbb{R}^d)$.} Intuitivamente, ciò vuol dire che autofunzioni in $L^2$ di tali operatori risultano essere estremamente ben localizzate. Questa idea è formalizzata con l'uso dei frames di Gabor introdotti nel Capitolo 2. Al termine del Capitolo 4 mostriamo che, se una autofunzione $f$ soddisfa le precedenti ipotesi, allora è altamente compressa su pochi atomi di Gabor.