“La genesi dei teoremi energetici nell’ambito della Scienza delle Costruzioni: Vita ed opere di James Clerk Maxwell”

La scienza delle costruzioni è lo studio matematico e procedurale utilizzato per cercare di garantire che le strutture sottoposte ad un carico, funzionino in modo soddisfacente. I contributi di James Clerk Maxwell alla scienza delle costruzioni riguardano tre aree principali: 1. Sollecitazioni e deformazioni di solidi elastici, 2. Diagrammi reciproci per la determinazione delle forze in telai determinati (cioè con un numero di elementi sufficiente a fornire un telaio rigido), 3. Metodi per la determinazione di forze e spostamenti in telai indeterminati (cioè più elementi nel telaio del minimo necessario per la rigidità) e Queste tre tematiche verranno approfondite capitolo per capitolo in questa discussione, cominciando con la prima area oggetto di studio, tramite l’analisi dell’articolo “The Equilibrium of Elastic Solids”. Primo articolo di Maxwell sulla scienza delle costruzioni, fu letto alla Royal Society di Edimburgo nel 1850 dal professor Philip Kelland, professore di matematica all'Università di Edimburgo. Il testo dimostra una sorprendente maturità per una persona che non aveva ancora diciannove anni. Maxwell fa riferimento a un'ampia gamma di fonti, tra cui i francesi Navier (1785-1836), Cauchy (1789-1857), Poisson (1781-1840) e Clapeyron (1799-1189) e l'irlandese Lord Stokes (1819-1903). Il documento inizia con la derivazione (per un corpo solido) delle equazioni differenziali dell'elasticità, basate su due assi. Le equazioni che Maxwell derivò erano le stesse di Navier e Cauchy, anche se questi hanno usato un approccio differente alla loro derivazione. Maxwell procedette poi ad applicare le equazioni a una serie di casi, in questa discussione si analizzeranno i più rilevanti nell’applicazione in ambito ingegneristico. Si proseguirà analizzando il secondo articolo di Maxwell, “On Reciprocal Figures and Diagrams of Forces”, pubblicato da Maxwell nel 1864, dove viene spiegata la teoria alla base dell’utilizzo di diagrammi reciproci per calcolare le forze interne di un determinato telaio. In un altro saggio, “Calculation of Equilibrium and Stiffness of Frames” pubblicato sempre nel 1864, Maxwell sviluppa un metodo per risolvere l'indeterminazione nei telai a snodo. Per raggiungere questo obiettivo, è necessario tenere conto non solo dell'equilibrio delle forze, ma anche dell'estensibilità dei membri del telaio. Molto importante nel saggio è il teorema di Maxwell, una prima forma di teorema di reciprocità, utilizzato in vari modi nella scienza delle costruzioni. Come si vedrà con lo svolgersi della discussione, anche Enrico Betti formulerà un principio analogo, tuttavia postumo rispetto a quello di Maxwell. Questi principi saranno fondamentali per sviluppare il concetto delle linee di influenza. Nella scienza delle costruzioni, le linee di influenza sono particolari diagrammi che forniscono i valori delle sollecitazioni o delle deformazioni provocate da una forza in una data sezione trasversale di una struttura piana, al variare del punto di applicazione della forza (fermi restando, invece, intensità e orientamento della forza). La considerazione delle linee d’influenza risulta soprattutto utile nella fase di progetto di una struttura (in particolare di un ponte), perché da esse è possibile dedurre le sollecitazioni massime che potranno verificarsi in tutte le diverse sezioni della struttura, per tutte le possibili posizioni dei carichi mobili.