Metodi numerici per equazioni iperboliche con flusso non locale

Le leggi di conservazione costituiscono un valido riferimento per la modelizzazione di molti fenomeni fisici. In particolare in questo lavoro di tesi ci soffermeremo sullo studio di leggi di conservazione utili alla modelizzazione del traffico veicolare. Uno tra i primi modelli utili a questo scopo fu proposto, già negli anni '50, da Lighthill, Whitham e Richards e successivamente ne vennero introdotti numerosi altri. In molti di questi lavori le leggi di conservazione studiate sono dette locali poichè ogni termine presente al loro interno è dipendente unicamente dalla condizione di traffico al tempo t nel punto x. Un modello più complesso ma molto più realistico dovrebbe permettere una modellizzazione per cui ogni guidatore in posizione x possa modulare il proprio comportamento in base a che cosa accade nell'intervallo immediatamente successivo a x. Intuitivamente allora in questo modello il guidatore che nel suo orizzonte visivo vedrà molte macchine rallenterà, mentre al contrario, se la strada davanti al guidatore sarà sgombra, questo potrà aumentare la sua velocità. Leggi di conservazione di questa tipologia sono dette non locali e sono caratterizzate dalla presenza di un termine non locale nella funzione flusso. Nei modelli di traffico veicolare analizzati in questo lavoro di tesi il termine non locale è riconducibile ad una convoluzione. Le leggi di conservazione non locali permettono di migliorare la modelizzazione di molti fenomeni ma hanno l'inconveniente di essere computazionalmente onerose da risolvere. In questo lavoro di tesi ci proponiamo allora di trovare e definire un metodo numerico che riesca a ridurre il costo computazionale. Osservando che il termine non locale, responsabile dell'elevato costo computazionale, è riconducibile ad una convoluzione e ricordando il teorema di convoluzione riscriviamo il termine non locale attraverso la trasformata di Fourier e la sua inversa. Utilizzando appositi algoritmi (FFT e IFFT) che ottimizzano il numero di operazioni richieste per il calcolo della trasformata di Fourier e della sua inversa riusciamo ad ottenere il vantaggio computazionale che ci eravamo proposti. Dopo aver definito il metodo numerico, descriveremo a fondo come cambia al variare dell'ordine (in particolare tratteremo il metodo di primo, secondo e terzo ordine) e forniremo dei test numerici al fine di validarlo. Inoltre tramite uno studio work-precision saremo in grado di stabilire quale tra i tre metodi è il più adatto per ottenere la precisione richiesta. Seguirà infine la risoluzione di modelli utili alla descrizione di situazioni reali inerenti al traffico veicolare.