Metodi multirate per problemi moderatamente stiff

L'integrazione numerica di sistemi di equazioni differenziali (ODE) stiff è spesso computazionalmente costosa. Infatti, è richiesto l'uso di numerosi passi di un metodo esplicito oppure l'impiego di onerosi metodi iterativi per risolvere le equazioni non lineari di un metodo implicito. In questa tesi siamo interessati allo studio di metodi numerici per l'approssimazione di sistemi di ODE moderatamente stiff e al caso particolare in cui l'autovettore associato all'autovalore con parte reale in modulo massimo sia quasi coincidente con una direzione coordinata. Possiamo di conseguenza individuare una componente del sistema da cui dipende la stiffness del problema. In tal caso partizioneremo il sistema in due insiemi di componenti che definiremo attive e latenti. Per risolvere questi problemi studiamo una strategia, detta multirate, che consiste nell'approssimare le componenti con diversi passi d'integrazione di un metodo numerico esplicito. In questo modo manteniamo la semplicità di uno schema esplicito, senza incorrere nei difetti di stabilità che si possono verificare applicando un generico metodo single-rate esplicito, ed evitiamo l'elevato costo computazionale richiesto dai metodi impliciti. Il problema è di rilevanza pratica ogniqualvolta si debba integrare una ODE che modella un sistema fisico ove convivono elementi caratterizzati da tempi di risposta diversi fra di loro (circuiti elettronici analogici e digitali accoppiati) oppure quando discretizziamo equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) con il metodo delle linee. In seguito a considerazioni critiche alla tecnica MRKI introdotta da Kvaerno e Rentrop, giungiamo alla costruzione di metodi multirate Runge-Kutta con l'utilizzo delle estensioni continue naturali, determinando dunque un algoritmo in grado di generare automaticamente i coefficienti del metodo per ogni numero di micropassi. In seguito, determiniamo la funzione di stabilità di un generico metodo multirate e riportiamo i grafici delle regioni di stabilità dei metodi costruiti. Discutiamo, infine, il vantaggio in termini di precisione e stabilità dei metodi costruiti con la tecnica da noi proposta.