Ideali associati a Grafi

La Teoria dei Grafi e quella di Anelli e Ideali hanno seguito, per molto tempo, percorsi autonomi e discosti ma l'ultimo ventennio ha visto il fiorire di numerosi studi sulla possibilità di collegare i concetti di ideale e di grafo. Con il presente lavoro, mi propongo di fornire una panoramica sulla recente produzione scientifica riguardo alla rappresentazione di grafi mediante opportuni ideali. Tale corrispondenza consente di scoprire utili informazioni sul grafo di partenza mediante gli strumenti forniti dalla teoria algebrica degli ideali in anelli di polinomi e in particolare della teoria delle basi di Gröbner. In particolare, studieremo tre differenti tipi di ideali: monomiali, binomiali e lineari. Inizialmente tali strutture matematiche verranno introdotte da un punto di vista algebrico con le relative proprietà, per poi essere applicate a particolari anelli nelle indeterminate dei vertici, dei lati, degli alberi ricoprenti e delle partizioni dei vertici di un dato grafo. Infine, a partire da tali associazioni, si analizzerà la possibilità di trarre conclusioni sulla struttura del grafo di partenza, ovvero su proprietà come la bipartizione o la presenza di circuiti con una determinata parità. Lo schema sarà, quindi: ¿ Panorama algebrico: introduzione degli ideali significativi e dimostrazione di proprietà e risultati che troveranno un corrispondente nella teoria dei grafi. ¿ Associazione dei diversi tipi di ideali introdotti a grafi ¿ Studio dei frutti che si ottengono da tale relazione: come ottenere informazioni sul grafo di partenza studiando il particolare ideale ad esso associato. Il lavoro è stato strutturato in questa forma per mettere in evidenza la possibilità di rappresentare uno stesso grafo con differenti ideali e, a seconda del panorama algebrico in cui ci si colloca, giungere a svariati risultati sul grafo di partenza.