Analisi della positività di interpolanti su dati sparsi

Since the 90s, the problem of positivity of positive scattered data interpolation has been investigated. The starting point of our work is the article by J. Wu , X. Zhang and L. Peng, 'Positive Approximation and Interpolation Using Radial Basis Functions Supported compactly' (2010), in which it is proposed to change the CSRBF interpolation with the introduction of added data and research coefficients by solving an optimization problem, whose constraints require that the interpolating function preserves positivity. In this project we have been tested for the first time the positivity of partition of unity method in unidimensional case. It generates subdomains, on which the method builds local CSRBF interpolants. Our proposal is to use the method of Wu-Zhang-Peng locally. In fact this method works properly keeping the positivity on few scattered data and partition of unity method is recommended to interpolate large sets of points. In this thesys has been tested the unidimensional case, it remains open to future studies the bidimensional case.

Dagli anni '90 sono state fatte ricerche sul problema della positività nell'interpolazione di dati sparsi positivi. Alcuni metodi utilizzano la triangolazione mediante funzioni razionali cubiche regolari a tratti, altri utilizzano funzioni a base radiale (RBF), o di Shepard. Il punto di partenza del nostro lavoro è l'articolo del 2010 di Wu J., Zhang X. e Peng L., 'Positive Approximation and Interpolation Using Compactly Supported Radial Basis Functions', nel quale si propone di modificare l'interpolazione RBF a supporto compatto con l'introduzione di dati aggiuntivi e la ricerca dei coefficienti mediante la risoluzione di un problema di ottimizzazione, i cui vincoli richiedono che la funzione interpolante non solo interpoli i dati, ma preservi la positività in tutto il dominio. Per la prima volta abbiamo testato in questa tesi la positività del metodo di partizione dell'unità nel caso unidimensionale. In esso si genera una suddivisione del dominio a cui si associa una partizione dell'unità. Su ogni sottodominio il metodo costruisce delle interpolanti locali mediante RBF a supporto compatto (CSRBF). La nostra proposta, dato che, come vedremo, l'interpolante CSRBF non preserva la positività dei dati, è quella di utilizzare localmente il metodo di Wu-Zhang-Peng. Infatti il metodo Wu-Zhang-Peng funziona correttamente nel mantenere la positività, ma è adatto all'interpolazione di pochi dati sparsi. E' invece consigliabile l'utilizzo del PUM per interpolare insiemi di punti di grandi dimensioni. Abbiamo qui testato il caso unidimensionale, rimane aperto a studi futuri il caso bidimensionale.