Metodi di approssimazione a variazione limitata

In questa tesi abbiamo studiato metodi di approssimazione a variazione limitata. Tali metodi sono stati introdotti per approssimare le soluzioni di leggi di conservazione. Queste equazioni sono presenti in diversi settori come la gasdinamica, l'idrodinamica, le previsioni meteorologiche, in modelli di traffico e molti altri. Solo in pochi casi è possibile determinare la soluzione analitica e quindi devono essere usati metodi numerici. La difficoltà che si incontra nell'approssimare le soluzioni di leggi di conservazione è che con i metodi numerici tradizionali si ottengono delle oscillazioni (analoghe al fenomeno di Gibbs) vicino alle discontinuità che possono portare all'instabilità. Siamo quindi interessati a trovare approssimazioni, di qualunque ordine di accuratezza desiderato, che siano ¿essenzialmente¿ non oscillatorie. Questo significa che, per soluzioni sufficientemente regolari a tratti, la variazione dell'approssimazione numerica è limitata da quella della soluzione vera. In particolare abbiamo studiato lo schema ENO (Essentially Non-Oscillatory) descrivendone la costruzione e mostrandone le idee di base che consentono di ottenere un'approssimazione non oscillatoria. Abbiamo quindi introdotto le sue importanti proprietà, come la proprietà TVB (Total Variation Bounded) e la proprietà del segno. Successivamente abbiamo presentato lo schema WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory); abbiamo spiegato quali sono le sue caratteristiche e le sue principali proprietà. Abbiamo poi implementato l'algoritmo della procedura WENO in ambiente MATLAB e presentato alcuni esempi numerici.