Frame di Gabor stazionari, nonstazionari e applicazioni

Lo scopo di questa tesi è quello di fornire un approccio graduale e rigoroso alla teoria dei frame di Gabor, con alcuni riferimenti alle possibili applicazioni di quanto si presenta. Le motivazioni dell'analisi di Gabor possono essere introdotte in manie- ra comprensibile a tutti con l'aiuto di un semplice esempio, proveniente dal mondo dei suoni. Si immagini di ascoltare un brano musicale: un pezzo di musica classica, tanto per fissare le idee. Se si presta attenzione al solo contenuto temporale del brano, si potrà stabilire certamente quando avvengono le transizioni fra note diverse; tuttavia, non si avrà modo di capire quali siano effettivamente le note in gioco: per farlo, servirebbe addentrarsi nel cosiddetto dominio della frequenza. Si supponga dunque di avere un qualche strumento che permetta di con- centrarsi unicamente sulle frequenze; in matematica, tale strumento prende il nome di trasformata di Fourier. Ora, anche in questo caso si ottiene un'informazione al prezzo di rinunciare ad un'altra: si possono individuare le note, ma non si è più capaci (quantomeno in modo semplice) di stabilire la loro durata, né tantomeno di capire in che ordine si presentano. In altri termini, è come se si disponesse delle note, ma non si sapesse come disporle sulle righe del pentagramma. Se non si vuole scendere a compromessi, ovvero se si è interessati a capire quali note il musicista ha suonato in quali istanti, bisogna trovare un modo per relazionare tempi e frequenze: questo è ciò di cui si occupa l'analisi di Gabor. Nel 1946, il fisico ungherese Dennis Gabor, motivato da tali conside- razioni, idea un metodo per rappresentare un segnale unidimensionale in un diagramma a due dimensioni, una per i tempi e una per le frequenze: la cosiddetta trasformata di Gabor. Andando ancora oltre, egli spera di poter dimostrare che ogni funzione si scompone in una serie (numerabile) di "mattoni" elementari (così come già si faceva al tempo mediante la serie di Fourier), che tuttavia portino con sé un contenuto tempo-frequenza chiaramente leggibile e utilizzabile. Spinto da considerazioni derivate dalla meccanica quantistica, nonché dalla conoscenza del non aggirabile vincolo imposto dai principi di indeterminazione, Gabor decide di considerare come "mattoni" i cosiddetti shift tempo-frequenza di una funzione gaussiana. A partire dalla semplice idea di Gabor, matematici e scienziati comin- ciarono a dare risposte ai diversi quesiti che un tale approccio portava con sé: ¿ ogni funzione (almeno all'interno di spazi "buoni", come L^2(R)) può essere rappresentata come sovrapposizione di shift tempo-frequenza di un solo atomo? ¿ come calcolare i coefficienti di tale eventuale combinazione? ¿ sono possibili implementazioni discrete di tali principi, in maniera da rendere possibile un approccio computazionale? Questa tesi si pone come obiettivo quello di dare una risposta a queste domande, presentando inoltre alcuni sviluppi recenti della ricerca nell'analisi di Gabor e qualche applicazione. In particolare, dopo aver analizzato la trasformata di Gabor e la teoria generale dei frame in spazi di Hilbert, si studieranno i frame di Gabor nella loro formulazione classica e nella loro estensione nonstazionaria. Quest'ultima, ideata di recente, si è resa importante per consentire analisi che si adattassero meglio alle caratteristiche tempo-frequenza di ciascun segnale.