Approssimazione spline e integrazione numerica multivariate con applicazioni

Un efficiente schema di integrazione numerica per integrali bidimensionali e superficiali ha importanti applicazioni in diversi campi. Ad esempio in campo medico l'integrazione numerica è determinante nel calcolo del campo magnetico indotto da un corpo metallico inserito in un campo magnetico esterno uniforme, il quale è ridotto alla valutazione di un integrale sul bordo del corpo. Si possono incontrare problemi simili nella risonanza magnetica dove il corpo metallico è un apparecchio medico impiantato (apparecchio ortopedico, impianto dentale, etc.) e il campo magnetico esterno è uno dei campi usati per produrre l'immagine. In un esperimento di risonanza magnetica, il corpo metallico produce un campo magnetico indotto che perturba il campo magnetico, il che porta ad un'alterazione dell'immagine. Tali alterazioni (dette artifact) possono rendere impossibili le diagnosi cliniche. Simulazioni numeriche sembrano essere un valido strumento per studiare e prevenire gli artifact della risonanza magnetica. Infatti nell'intero processo di simulazione numerica, il calcolo del campo magnetico è legato agli algoritmi di ricostruzione dell'immagine; questo spiega perché occorre garantire un'alta accuratezza e bassi tempi di calcolo del metodo che calcola il campo magnetico indotto. L'applicazione principale rimane però la risoluzione di equazioni integrali che compaiono in molti problemi fisici, per le quali la determinazione analitica delle soluzioni non è sempre semplice e possibile. Per questo motivo spesso si ricorre ad un modello numerico che permetta di ottenere una soluzione approssimata. Alcuni esempi di questi problemi sono i problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni differenziali, le equazioni integro-differenziali e le equazioni integrali. Nei primi due capitoli della tesi abbiamo presentato gli oggetti matematici su cui si basano i metodi di integrazione numerica esposti e loro proprietà. Nel Cap. 1 abbiamo introdotto l'operatore di interpolazione polinomiale a tratti definito su un insieme di funzioni su domini sia planari sia superficiali. Nel Cap. 2 abbiamo presentato tre quasi-interpolanti spline quadratici C1 su triangolazioni criss-cross definiti tramite B-spline con nodi tripli agli estremi e supporto interno al dominio rettangolare, e un quasi-interpolante quadratico C1 su triangolazioni criss-cross uniformi con proprietà di superconvergenza, definito tramite box-spline aventi supporto ottagonale che può anche non essere interamente interno al dominio rettangolare ma con coefficienti funzionali che richiedono valutazioni in punti appartenenti ad esso. Nel Cap. 3 abbiamo quindi fornito alcune formule di cubatura basate sull'interpolazione polinomiale e sulla quasi-interpolazione spline per poter valutare numericamente integrali bidimensionali e superficiali. In esso sono anche compresi le procedure, implementate in ambiente MATLAB, corrispondenti alle diverse formule di cubatura, ed alcuni esempi numerici in cui tali procedure sono state applicate. Nel Cap. 4 abbiamo considerato equazioni integrali 2D di Fredholm di seconda specie per le quali abbiamo costruito ed analizzato metodi Nystrӧm e di collocazione basati sulle formule di cubatura esposte nel capitolo precedente. Anche per tali metodi sono state riportate le procedure ed alcuni esempi numerici. Infine in Appendice abbiamo inserito risultati di analisi funzionale e sulla teoria generale dei metodi Nystrӧm richiamati nella parte prima dell'elaborato.