Funzione di Hilbert e Varietà di Punti

In this thesis we study those sequences which can be the Hilbert function of finite sets of points in the projective space, also called 0-dimensional differentiable O-sequences. For this purpose, we give the characterization of the Hilbert function of a standard graded K-algebra and of a reduced standard graded K-algebra due to Macaulay and Geramita, Maroscia and Roberts respectively. Secondly we analyze some tecniques to compute the generators of the ideal of a variety of points, both in the affine and in the projective case. In particular the Buchberger-Möller algorithm allows to compute the generators of such an ideal and also the separators of points. Then there is a section in which we study separators and truncators in details. Finally we explain how to find 0-dimensional varieties in the projective plane for which it is easy to find conductor degrees from initial data. In particular it is interesting the construction of the so called 0-dimensional partial intersections, for which we compute the Hilbert function and the conductor degrees.

In questa tesi si studiano anzitutto quelle successioni che possono essere funzioni di Hilbert di insiemi finiti di punti nello spazio proiettivo, anche dette O-successioni differenziabili 0-dimensionali. In questo senso fanno luce i teoremi di Macaulay, e Geramita, Maroscia e Roberts rispettivamente, sulla caratterizzazione della funzione di Hilbert di una K-algebra standard e di una K-algebra standard ridotta. In secondo luogo si prendono in esame le tecniche per calcolare i generatori dell'ideale di una varietà di punti, sia essa affine o proiettiva. A questo proposito l'algoritmo di Buchberger-Möller, oltre ad offrire tali generatori, permette di calcolare i polinomi separatori dei punti. Segue dunque una parte della tesi dedicata allo studio delle proprietà riguardanti i polinomi separatori ed i polinomi troncatori. Infine si approfondisce la costruzione, in determinate ipotesi, di varietà 0-dimensionali del piano proiettivo aventi gradi conduttori dei punti facilmente deducibili dai dati iniziali. Di particolare interesse è il caso delle intersezioni parziali 0-dimensionali, per le quali si studiano gradi conduttori dei punti e funzione di Hilbert.