Due aspetti diversi della convessità: la funzione Gamma e il politopo di Newton.

L'intento della tesi è quello di analizzare le principali proprietà degli insiemi convessi e dei politopi per poi approfondire una loro applicazione all'algebra computazionale ed in particolare ai term order, basi di Gröbner e politopi di Newton. Il legame tra algebra computazionale e geometria convessa è molto semplice: l'algebra computazionale si occupa essenzialmente di polinomi, ossia combinazioni lineari di monomi. Molte proprietà di un polinomio possono essere dedotte anche soltanto conoscendo quali monomi vi compaiono con coefficiente non nullo. Ogni monomio è perfettamente determinato dalla lista ordinata degli esponenti delle variabili, ossia da particolari punti dello spazio. Ogni term order individua nell'insieme dei monomi che compaiono in ciascun polinomio un monomio privilegiato, detto monomio iniziale (leading monomial). Il monomio iniziale di un polinomio rispetto ad un dato term order risulta essere un vertice dell'inviluppo convesso dell'insieme dei punti corrispondenti ai monomi di quel polinomio. Quindi le proprietà algebriche del polinomio e quelle geometriche del suo politopo di Newton, ossia dell'inviluppo convesso dei punti corrispondenti ai suoi monomi, sono strettamente collegate.