Approssimazione di curve e superfici separatrici per modelli di competizione

The competition of two or more species that live in the same environment can be modelled mathematically by a differential system, whose unknowns are the populations as functions of time and their interactions are described by a number of parameters. In a model of this type, under some conditions imposed on biological parameters and according to the initial conditions, the system evolves towards different equilibrium points. The aim of this work is to determine the basins of attraction of the stable equilibrium points, that means, given a stable equilibrium point, to identify the set of initial conditions such that the system evolves towards that point. We can imagine to divide the points of plane or space, seen as initial conditions of the populations, in different regions that identify the basins of attraction of the stable equilibrium points. The problem is equivalent to determining curves and surfaces, respectively called separatrix curves and surfaces, which separate the plane or the space into two or more regions. We analyze the problem of the separatrix curve and surface for two competition models. Before the studying of the separatrix curve or surface, we carry out an analytical study of the models, supported by graphic simulations developed in Matlab, aimed at finding the parameters such that the systems admit two or three stable equilibrium points. This is equivalent to find parameters such that the separatrix curve or surface exists. Once this is done we proceed to the approximation of the basins of attraction. At first, we determine the points lying on the separatrix curve or surface found by applying a bisection algorithm, implemented in Matlab. Then, if needed, we proceed with a refinement algorithm in order to reduce the number of points to interpolate. Finally, we approximate the curve and surface using the Partition of Unity method with local approximants given by Wendland's functions.

La competizione di più specie che vivono nello stesso ambiente può essere modellizzata da un sistema differenziale, in cui le incognite rappresentano le popolazioni al variare del tempo e le loro interazioni sono descritte da certi parametri. Per opportune scelte dei parametri biologici, in un modello di questo tipo, il sistema, a seconda delle condizioni iniziali imposte, evolve verso diversi punti di equilibrio. Obiettivo di questo lavoro è quello di determinare i bacini di attrazione dei punti di equilibrio stabile, vale a dire, dato un punto di equilibrio stabile, individuare l'insieme di condizioni iniziali tali per cui il sistema evolve verso tale punto. Si può immaginare di dividere i punti del piano o dello spazio, visti come condizioni iniziali delle popolazioni, in regioni differenti che individuano i bacini di attrazione dei punti di equilibrio stabile. Il problema è equivalente a determinare curve e superfici, dette rispettivamente curve e superfici separatrici, che separano il piano o lo spazio in due o più regioni. E' stato trattato il problema della curva e della superficie separatrice per due modelli di competizione. Allo studio della curva o della superficie separatrice, precede lo studio analitico dei modelli, supportato da simulazioni grafiche sviluppate in ambiente Matlab, finalizzato a trovare i parametri tali per cui i sistemi ammettano due o tre punti di equilibrio stabile. Ciò equivale a cercare i parametri in modo tale che sia garantita l'esistenza della curva o superficie separatrice. Fatto questo si procede con l'approssimazione dei bacini di attrazione. Per prima cosa si determinano i punti che appartengono a tali curve o superfici con un algoritmo di bisezione, implementato in ambiente Matlab. Trovati questi, se necessario, si procede con un algoritmo di raffinamento che ha la funzione di ridurre il numero di punti trovati e di conseguenza i punti da interpolare. Infine, si ricostruiscono le curve e le superfici usando il metodo della partizione dell'unità con approssimanti locali le funzioni di Wendland.