Il modello del disco di Poincarè: le isometrie

Nella tesi analizzo il modello di geometria iperbolica del disco di Poincarè. Mi soffermo in particolar modo sullo studio delle isometrie in tale modello. Il primo capitolo verte sulla geometria analitica delle circonferenze nel piano complesso: in particolare viene mostrato come all'equazione di una generica circonferenza nel campo complesso possa essere associata una matrice hermitiana, vengono poi classificate le circonferenze e i fasci di circonferenze. Tale studio si rivelerà particolarmente utile nel secondo capitolo, in cui viene analizzata, prima con un approccio geometrico, poi fornendo una formulazione algebrica, la trasformazione geometrica dell'inversione. Affinchè l'inversione sia una corrispondenza del campo complesso in se stesso, emergerà la necessità di completare tale campo con un punto. Nel terzo capitolo viene quindi studiato il campo complesso esteso e viene introdotta la Sfera di Riemann come modello di questo campo. Nel quarto capitolo vengono studiate le trasformazioni di Moebius, applicazioni definite sul campo complesso esteso, che verranno utilizzate per dare una formulazione algebrica alle trasformazioni iperboliche. Nell'ultimo capitolo tratto il modello del disco. Definisco le rette iperboliche, gli angoli iperbolici e la metrica e la distanza sul disco. Nella seconda parte del capitolo analizzo le trasformazioni iperboliche. Definisco le riflessioni iperboliche rispetto alle rette appena definite, facendo riferimento alla definizione e alle proprietà dell'inversione, presentate nel primo capitolo. Dopo aver mostrato che ogni trasformazione iperbolica può essere scritta come composizione di riflessioni iperboliche, classifico le trasformazioni iperboliche e fornisco la loro forma canonica tramite le trasformazioni di Moebius. Dimostro infine che le trasformazioni iperboliche preservano la distanza e sono dunque isometrie. Nell'ultima parte del capitolo, svolgo un breve confronto con il modello del semipiano di Poincarè ed evidenzio come i due modelli siano collegati tra loro.