Il modello di Ising: dalla Meccanica Statistica alla Teoria delle reti

Il lavoro di tesi qui proposto ha l'obiettivo di studiare il modello di Ising e di fornirne un esempio di applicazione ad un contesto non prettamente fisico. Questo modello nasce nell'ambito dello studio delle transizioni di fase della materia, in particolare della transizione dal ferromagnetismo al paramagnetismo che si realizza al di sopra della temperatura di Curie. Questo elaborato si articola in tre capitoli. Nel primo viene trattato il modello unidimensionale e viene presentata la soluzione esatta ottenuta mediante l'utilizzo della matrice di trasferimento e l'applicazione delle condizioni periodiche al contorno. La soluzione mostra che non è possibile alcuna transizione di fase salvo che per temperatura nulla.\\ Nel secondo capitolo, invece, si risolve il modello indipendentemente dalla dimensione mediante l'approssimazione di campo medio; dallo studio dell'energia libera in funzione della magnetizzazione è possibile osservare la transizione di fase attesa al variare della temperatura e determinare quindi la temperatura critica.\\ L'ultimo capitolo si concentra invece sull'applicazione del modello alle reti sociali, nelle quali è possibile osservare delle transizioni di fase; queste sono di natura completamente differente da quelle nei materiali, ma possono essere modellizzate in modo del tutto similare, tenendo conto di alcuni elementi della teoria delle reti, ad esempio del fatto che le reti sociali sono di tipo small-world. In particolare viene esposto il Voter model, un modello derivato proprio da quello di Ising che studia l'emergere del consenso in una popolazione di individui interagenti a coppie e con opinioni di partenza in contrasto.