Biliardi di Boltzmann integrabili

In this dissertation we will introduce the problem of the two bodies (in particular the case of the Kepler problem) and the Hooke problem. We will then introduce the billiard systems defined by Boltzmann based on the Kepler problem in the plan and on the sphere, in particular we will prove their integrability both providing two independent first integrals of the system (result obtained by Gallavotti and Jauslin), either using the projective dynamics (method proposed by Zhao). Finally, other mechanical billiards will be considered, including free billiards, those based on the Hooke problem and the two-center problem, highlighting how these systems are related to each other through conformal transformations. In the final appendix, topics such as the integrability of a mechanical system, the Delaunay variables and the Levi-Civita regularization will be treated, necessary to understand the previously stated concepts.

In questa tesi verranno introdotti il problema dei due corpi (in particolare il caso del problema di Keplero) e il problema di Hooke. Verranno poi affrontati i biliardi definiti da Boltzmann basati sul problema di Keplero nel piano e sulla sfera, in particolare si dimostrerà la loro integrabilità sia fornendo due integrali primi indipendenti del sistema (risultato ottenuto da Gallavotti e Jauslin), sia utilizzando la dinamica proiettiva (metodo proposto da Zhao). Infine verrano presi in considerazione anche altri biliardi meccanici, tra cui quelli liberi, quelli basati sul problema di Hooke e sul problema a due centri, sottolineando come tali sistemi sono in relazione tra loro mediante trasformazioni conformi. Nell’appendice finale verranno trattati argomenti come l’integrabilità di un sistema meccanico, le variabili di Delaunay e la regolarizzazione di Levi-Civita, necessari per comprendere i concetti precedentemente esposti.