Il Problema del Tempo di Primo Passaggio del Moto Browniano Geometrico: un Approccio con i Cumulanti

In the case of the GeometricBrownian Motion closed formulas for both the Laplace Transformand the First Passage Time probability density are available, making it aperfect candidate for a presentation of this method. The feasibility of themethod indeed speci?cally relies on closed form formulas for cumulants and moments recovered from the Laplace transform of the probability density function and using the algebra of formal power series. However, although the presentation of the procedure is greatly helped by closed formulas, the method becomes fundamental when the probability density functions is unknown,giving us a tool to obtain a rather good approximation (as will be shown in this work) when a closed form of the cumulants can be recovered. Moreover, this approach allows us to perform statistical estimation on the parameters characterizing the diffusion process.

Questo lavoro si concentra su un'approssimazione della funzione di densità di probabilità del tempo di primo passaggio del processo stocastico del moto browniano geometrico utilizzando i cumulanti e un'approssimazione polinomiale di Laguerre-Gamma. Nel caso del moto browniano geometrico formule chiuse per entrambe la trasformate di Laplace e la densità di probabilità del Tempo di Primo Passaggio sono disponibili, rendendolo un candidato perfetto per una presentazione di questo metodo. La fattibilità del metodo infatti si basa specificamente su formule chiuse per cumulanti e momenti recuperati dalla trasformata di Laplace della funzione di densità di probabilità e utilizzando l'algebra delle serie di potenze formali. Sebbene la presentazione della procedura sia molto facilitata dalla presenza di formule chiuse, il metodo diventa fondamentale quando le funzioni di densità di probabilità sono sconosciute, dandoci uno strumento per ottenere un'approssimazione piuttosto buona (come sarà mostrato in questo lavoro) quando una forma chiusa dei cumulanti può essere recuperata. Inoltre, questo approccio ci permette di effettuare stime statistiche sui parametri che caratterizzano il processo di diffusione.