Processi semi-Markoviani ed equazioni di Kolmogorov

Una classe di processi stocastici di notevole importanza è quella dei cosiddetti "processi Markoviani", ossia quei processi in cui le probabilità di passare da uno stato all’altro dipendono unicamente dall’ultimo stato visitato e non dalla storia precedente del processo. Questi processi sono caratterizzati dal fatto che i tempi di permanenza in un generico stato seguono la distribuzione esponenziale, l’unica distribuzione continua che gode della proprietà di assenza di memoria. Le probabilità di transizione di tali processi soddisfano delle equazioni differenziali, dette equazioni di Kolmogorov, che coinvolgono le le loro derivate prime. Esse esprimono il modo con cui le probabilità di transizione evolvono nel tempo. In questo lavoro, dopo aver analizzato le principali proprietà dei processi Markoviani, abbiamo cercato di studiare una classe più ampia di processi, ossia i processi semi-Markoviani. Per questi processi, analogamente a quanto accade nel caso dei processi Markoviani, le probabilità di transizione dipendono soltanto dallo stato presente, tuttavia si differenziano da questi ultimi per il fatto che il tempo trascorso prima di effettuare una transizione non è necessariamente esponenziale, ma segue una distribuzione arbitraria che può dipendere unicamente dallo stato in cui si trova il processo. L’obiettivo finale del lavoro è quello di presentare anche per i processi semi-Markoviani delle equazioni analoghe a quelle di Kolmogorov. Per fare ciò si ricorre alla derivata frazionaria di Caputo, ossia un operatore che generalizza il concetto ordinario di derivata e che viene ottenuto definendo una potenza reale o complessa dell’operatore derivata. Mediante questo operatore si esprimono le equazioni di Kolmogorov nel caso dei processi semi-Markoviani con intertempi la cui funzione di sopravvivenza è la funzione di Mittag-Leffler. Dimostreremo poi tale risultato nel caso particolare dei processi di conteggio.