Fasi Geometriche in Fisica

I aim in this thesis is to introduce geometric phases in quantum mechanics, which are a particular type of phases that appear under certain conditions, for example as a consequence of the adiabatic evolution of a quantum system. In the first chapter I'm going to introduce the appropriate mathematical instruments: starting from the basics of differential geometry I will be discussing Lie groups, algebras and fiber bundles. The main objective is introducing the concept of holonomy. In the next chapter I'm going to study the adiabatic approximation and Berry's phase. After a standard derivation I will expand on B. Simon interpretation of the phenomenon: the fundamental result here is the identification of Berry's phase as a holonomy defined by a connection over an appropriate bundle. This chapter will end with some intuitive geometrical considerations and an example, the case of a spin dependent system in a slowly varying magnetic field. Here I will explain how Berry's phase and, consequently, holonomy are related to the solid angle subtended by a loop in parameter space. In the last chapter the Aharonov-Bohm effect is discussed, with a particular focus on its implications, its interpretation as a geometric phase and some of the most important experiments on the subject.

Il mio obiettivo in questa tesi è quello di introdurre le fasi geometriche in meccanica quantistica, ovvero un particolare tipo di fasi che appaiono sotto certe condizioni, per esempio in seguito all'evoluzione adiabatica di un sistema quantistico. Nel primo capitolo introdurrò gli strumenti matematici appropriati: partendo dalle basi della geometria differenziale discuterò gruppi e algebre di Lie e i fibrati. L'obiettivo principale è introdurre il concetto di olonomia. Nel capitolo sequente andrò a studiare l'approssimazione adiabatica e la fase di Berry. Dopo una derivazione standard viene presentata una discussione sull'interpretazione del fenomeno data da B. Simon: il risultato fondamentale qui è l'identificazione della fase di Berry come olonomia definita da una connessione su un fibrato appropriato. Questo capitolo terminerà con alcune considerazioni geometriche più intuitive e con un esempio, quello di una particella dotata di spin in un campo magnetico lentamente variabile. Qui spiegerò come la fase di Berry e, di conseguenza, l'olonomia sono legate all'angolo solido sotteso da un circuito chiuso nello spazio dei parametri. Nel capitolo finale viene discusso l'effetto Aharonov-Bohm, con particolare attenzione alle sue implicazioni, collegamenti alla fase di Berry e ad alcuni dei più importanti esperimenti eseguiti in questo ambito.