Il vettore di Runge-Lenz e la degenerazione dell'oscillatore armonico bidimensionale quantistico

In letteratura è noto che tutti i problemi di dinamica classica con un potenziale centrale permettono di trovare delle grandezze conservate che corrispondono a simmetrie interne , . L’esistenza di un potenziale centrale implica la planarità dell’orbita. Partendo da uno dei casi più conosciuti, il potenziale di Keplero, si può ottenere come quantità conservata il vettore di Runge-Lenz, che ha un analogo in tutti gli altri problemi a potenziale centrale. Nel nostro caso studieremo la mappa che collega gli unici due casi in cui le orbite sono chiuse, ovvero il caso di Keplero e di Hooke. Per farlo si può semplificare il problema al caso bidimensionale per poter identificare il piano delle coordinate spaziali xy con quello complesso. In questo modo il collegamento tra i due casi diventa facilmente calcolabile tramite la mappa di Bohlin. Le componenti del vettore di Runge-Lenz nel caso di Hooke possono essere studiate dal punto di vista classico assieme al momento angolare come generatori della simmetria accidentale SU(2) del sistema tramite le parentesi di Poisson . Se si promuovono le componenti del vettore di Runge-Lenz a operatori, possiamo studiare la stessa simmetria tramite l’uso dei commutatori. In questo modo si può trovare una relazione tra i generatori e l’hamiltoniana dell’oscillatore quantistico armonico del sistema e si può verificare l’invarianza degli operatori di scala rispetto alle matrici speciali unitarie. Infine, utilizzando la relazione tra il casimiro del gruppo e l’hamiltoniana del sistema, si può introdurre un operatore di Numero che permette di derivare la degenerazione attesa dell’hamiltoniana.