Il logaritmo di matrice come applicazione della forma canonica di Jordan

Uno degli obiettivi che si pone l’Algebra Lineare è lo studio della diagonalizzazione di una matrice quadrata. Dal corso di Algebra Lineare e Geometria si è potuto constatare che quando una matrice di dimensione n×n reale è simmetrica allora è diagonalizzabile. Inoltre, se la matrice non è simmetrica, ma rispetta uno dei criteri di diagonalizzazione allora è diagonalizzabile. Il problema nasce nel momento in cui la matrice quadrata non risulta diagonalizzabile. In aiuto a questo problema, il matematico Camille Jordan scoprì l’importanza di un particolare tipo di matrice, la quale oggi porta il suo nome, nota come matrice in forma canonica di Jordan, che, come si vedrà già nel corso del primo capitolo, è un particolare tipo di matrice a blocchi in forma quasi diagonale. Pertanto, grazie alla scoperta di Camille Jordan, è possibile mettere in una forma quasi diagonale anche tutte quelle matrici che non rispettano i criteri di diagonalizzazione. La matrice in forma canonica di Jordan presenta numerose applicazioni in campo matematico, come ad esempio nel calcolo dell’esponenziale di una matrice o, ancora, nella risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. In questa tesi, tuttavia, si cercherà di delineare in modo generale un’altra applicazione della forma canonica di Jordan, la quale nei corsi di laurea di primo livello non viene affrontata: il logaritmo di una matrice. Il logaritmo di matrice si presenta come funzione inversa della matrice esponenziale. La necessità di calcolare i logaritmi di matrice nasce a partire da una serie di problemi applicati. Una classe significativa di problemi deriva dall'imaging medico. Uno di questi problemi è quello di interpolare ed eseguire statistiche sui dati rappresentati da alcuni tipi di matrici (come le matrici simmetriche definite positive in DTI). Un altro problema importante e difficile è la registrazione delle immagini mediche. Per entrambi questi problemi risulta cruciale la capacità di calcolare i logaritmi di matrici reali. In questa tesi affronteremo, tuttavia, dal punto di vista matematico il problema di come calcolare il logaritmo di una matrice a partire dalla forma canonica di Jordan. Nel primo capitolo vengono presentati alcuni richiami di Algebra Lineare e la definizione di matrice in forma canonica di Jordan. Nel secondo capitolo viene presentata la definizione di polinomio minimo e la dimostrazione dell’esistenza della forma canonica di Jordan. Nel terzo capitolo vengono presentati alcuni richiami sulla matrice esponenziale e una prima introduzione al logaritmo di matrice. Nel quarto capitolo, infine, si discuterà l’esistenza del logaritmo nel caso di matrici unipotenti e di matrici complesse.