SOLUZIONI DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI

Introduzione Risolvere un sistema di equazioni non lineari è un problema che viene evitato quando possibile, abitualmente approssimando il sistema non lineare mediante un sistema di equazioni lineari. Quando questo non è soddisfacente, il problema deve essere affrontato direttamente. L’approccio più semplice consiste nell’adattare i metodi numerici che servono per approssimare le soluzioni di una singola equazione non lineare ad una variabile, a sistemi di equazioni non lineari. Ricerca delle radici di equazioni non lineari Metodo di bisezione Supponiamo che: 1. f sia una funzione continua su un intervallo [a,b] 2. f(a)f(b)<0 Sotto queste ipotesi il teorema dei valori intermedi ci assicura che esiste un numero p in (a,b) tale che f(p)=0. Per semplicità supponiamo che la radice p sia unica. Il metodo richiede un dimezzamento ripetuto dei sottointervalli di [a,b] e ad ogni passo andare avanti sulla metà contenente p. Metodo di punto fisso Il numero p è un punto fisso per una funzione g se g(p)=p. Teorema del punto fisso Sia g continua in [a,b] t.c. g(x) appartenga a [a,b], per x in [a,b]. Supponiamo che esistano g’ in (a,b) e una costante 0<k<1 t.c. |g’(x)| sia minore o uguale a k, per x in (a,b). Allora per ogni stima iniziale p_0 in [a,b] la successione p_n = g(p_n-1), n>0 converge all’unico punto fisso p in [a,b]. Metodo di Newton Sia f C^2 in [a,b] e p_0 in [a,b] una stima iniziale della radice p, t.c. la f ‘(p_0) sia diverso da 0 e |p-p_0| sia sufficientemente piccolo. Consideriamo il polinomio di Taylor di secondo grado valutato in p ed espanso attorno a p_0. La quantità (p-p_0)^2 è molto piccola, quindi possiamo considerarla trascurabile, inoltre f(p)=0. Sostituendo nell’espansione di Taylor e risolvendo per p, posto uguale a p_1, si ottiene il metodo di Newton per una successione p_n. Il metodo di Newton è un caso particolare del metodo di punto fisso ed è un metodo costoso perché richiede una certa regolarità di f e che la radice sia abbastanza vicina a p_0. Dato che |p-p_0| è sufficientemente piccolo, possiamo approssimare la derivata prima della funzione f con il suo rapporto incrementale. Metodo delle secanti La derivata di una funzione in un punto è per definizione il limite del rapporto incrementale. Se un punto è sufficientemente vicino ad un altro, allora la derivata di una funzione in un punto è circa il rapporto tra la differenza dei valori della funzione calcolata nei due punti e la differenza dei due punti stessi. Usando questa approssimazione della derivata nella formula di Newton si ottiene il metodo delle secanti. Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari Un sistema di equazioni non lineari ha la forma f_1(x_1,…,x_n)=0 . . f_n(x_1,…,x_n)=0 f_i , i=1,…,n funzioni che associano al vettore (x_1,…,x_n) un numero reale. Tale sistema di n equazioni in n incognite può essere rappresentato definendo una funzione vettoriale f come segue f(x_1,…,x_n)=(f_1(x_1,…,x_n),…, f_n(x_1,…,x_n)) Con la notazione vettoriale il sistema non lineare assume la forma f(x)=0. Metodi Quasi-Newton Una debolezza significativa del metodo di Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari, deriva dalla necessità, ad ogni iterazione, di calcolare e invertire la matrice Jacobiana e risolvere un sistema lineare n per n che la coinvolge. Il costo computazionale totale per una sola iterazione del metodo di Newton è almeno n^2+n valutazioni funzionali scalari, insieme a O(n^3) operazioni aritmetiche per risolvere il sistema.