Formula di Shannon, campionamento e interpolazione

The thesis concerns some aspects of modern signal theory. From a mathematical viewpoint signals can be represented as functions or distributions. Preliminary tools are included at the beginning of the thesis, where we recall the main definitions and properties of Fourier series, Fourier transform and distributional theory. In the dissertation we will make extensive use of a particular tempered distribution: Dirac’s comb. Indeed, sampling a signal corresponds to multiplying it by the Dirac’s comb. Starting from this point Poisson’s formula is derived, which relates Fourier series to Fourier transform. Then it is possible to obtain Shannon’s formula, which allows the reconstruction of a signal through its suitable sampling at regular intervals without loss of information. A different formulation of Shannon’s formula can be attained using frames theory. The original content of the thesis consists in showing that these two results can be unified in only one formula. Finally, we define the stable sampling problem and the interpolation problem in terms of uniformly discrete sets for the Paley-Wiener spaces and we state a result about duality between sampling and interpolation.

La tesi tratta alcuni aspetti della moderna teoria dei segnali, i quali in matematica possono essere rappresentati come funzioni o distribuzioni. Il materiale preliminare è contenuto nelle sezioni iniziali della tesi volte a ricordare le definizioni e le principali proprietà della serie di Fourier, della trasformata di Fourier e della teoria delle distribuzioni. Nella trattazione si farà largo uso di una particolare distribuzione temperata: il pettine di Dirac. Ciò è dovuto al fatto che campionare un segnale equivale a moltiplicarlo per il pettine di Dirac. Da qui si deriva la formula di Poisson che mette in relazione serie e trasformata di Fourier. È poi possibile ottenere la formula di Shannon, attraverso la quale si riscostruisce, senza perdita di informazione, un segnale a partire da un suo opportuno campionamento a intervalli regolari. Si mostrerà inoltre che la formula di Shannon si può ricavare in una formulazione diversa ricorrendo alla teoria dei frames. Il contenuto originale della tesi consiste nel mostrare che le due espressioni della formula di Shannon possono essere unificate in una sola formula. Infine, saranno definiti i problemi di sampling stabile e di interpolazione in termini di insiemi uniformemente discreti per gli spazi di Paley-Wiener e sarà presentato un risultato di dualità tra sampling di un segnale ed interpolazione.